Question

8．如圖所示，在光滑水平桌面上靜置一質量為M=980g的長方形勻質木塊，現(xiàn)有一顆質量為m=20g的子彈以v₀=300m/s的水平速度沿其軸線射向木塊，結果子彈留在木塊中沒有射出，且子彈打進木塊的深度為d=6cm，已知木塊的總長度為L=10cm（沿子彈運動方向），設木塊對子彈的阻力保持不變．
（1）求子彈和木塊的共同的速度以及它們在此過程中所增加的內(nèi)能．
（2）若子彈是以v₀=400m/s的水平速度從同一方向射向該木塊的，則它能否射穿該木塊？
（3）若能射穿木塊，求子彈和木塊的最終速度是多少？

Answer 1

分析 （1）以子彈和木塊為系統(tǒng)，由動量守恒定律求解共同速度，根據(jù)能量守恒求解增加的內(nèi)能．
（2）以子彈和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律列出等式，根據(jù)能量守恒和功能關系求出相對位移進行比較．
（3）由動量守恒定律和機械能守恒定律要聯(lián)立得出方程，即可求得最終速度．

解答 解：（1）設子彈的初速度為v₀，射入木塊的共同速度為v．以子彈和木塊為系統(tǒng)，由動量守恒定律有mv₀=（M+m）v
解得$v=\frac{{m{v_0}}}{M+m}=\frac{0.02×300}{0.98+0.02}m/s=6.0m/s$
此過程系統(tǒng)所增加的內(nèi)能$△E=△{E_k}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}（M+m）{v^2}=\frac{1}{2}×0.02×{300^2}J-\frac{1}{2}×（0.98+0.02）×{6^2}J=882J$
（2）設以v₀′=400m/s的速度剛好能夠射穿材質一樣厚度為d′的另一個木塊．則對以子彈和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有mv'₀=（M+m）v'$v'=\frac{{m{{v'}_0}}}{M+m}=\frac{0.02×400}{0.98+0.02}m/s=8.0m/s$
此過程系統(tǒng)所損耗的機械能$△E'=△{E'_k}=\frac{1}{2}mv'_0^2-\frac{1}{2}（M+m）{v'^2}=\frac{1}{2}×0.02×{400^2}J-\frac{1}{2}×（0.98+0.02）×{8^2}J=1568J$
由功能關系有△E=fs_相=fd，△E'=f's_相=fd'兩式相比即有$\frac{△E}{△E'}=\frac{{f{s_相}}}{{f{{s'}_相}}}=\frac{fd}{fd'}=\fraczrdxrr9{d'}$
于是有$d'=\frac{△E'}{△E}d=\frac{1568}{882}×6cm=\frac{1568}{147}cm＞10cm$
因為d′＞10cm，所以能夠穿透此木塊．
（3）設射穿后，最終子彈和木塊的速度分別為v₁和v₂，系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為f
 L=$\frac{10}{6}$×fd=$\frac{5}{3}$×882=1470 J
由動量守恒定律mv₀=mv₁+Mv₂
由能量守恒定律fL=$\frac{1}{2}$×mV₀²-$\frac{1}{2}$×Mv₁²-$\frac{1}{2}$×mv₂²
代入數(shù)字化簡得v₁+49v₂=400
v₁²+49v₂²=13000
消去v₁得v₂²-16 v₂+60=0
解得   v₁=106 m/s，v₂=6 m/s
答：（1）子彈和木塊的共同的速度為6m/s；它們在此過程中所增加的內(nèi)能為882J；
（2）若子彈是以v₀=400m/s的水平速度從同一方向射向該木塊的能夠射穿該木塊；
（3）若能射穿木塊，求子彈和木塊的最終速度是106m/s和6m/s．

點評 本題是子彈射木塊問題的綜合問題，考查了動量守恒定律、能量守恒定律、功能關系，難度較大．要注意正確分析物理過程，明確物理規(guī)律的正確應用．