Question

13．某人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它離地面的高度為2R，R為地球半徑．已知地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）衛(wèi)星的向心加速度大�。�
（3）地球的第一宇宙速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，結(jié)合地球表面的重力加速度和地球的半徑求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出衛(wèi)星的向心加速度．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）地球表面處萬(wàn)有引力等于重力$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
解得地球的質(zhì)量$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$．
（2）萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星的向心力$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=ma$，
依題意  h=2R
解得$a=\frac{GM}{{9{R^2}}}=\frac{g}{9}$．
（3）第一宇宙速度即為近地衛(wèi)星繞行速度$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$，
解得${v_1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$．
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）衛(wèi)星的向心加速度大小為$\frac{g}{9}$；
（3）地球的第一宇宙速度大小為$\sqrt{gR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．