Question

如圖所示，遙控電動(dòng)賽車(chē)（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車(chē)?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定的圓形光滑過(guò)山車(chē)軌道，通過(guò)軌道最高點(diǎn)P后又進(jìn)入水平軌道CD上．已知賽車(chē)在水平軌道AB部分和CD部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為車(chē)重的0.5倍，賽車(chē)的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車(chē)的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=2W工作，軌道AB的長(zhǎng)度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可以忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比賽，要求賽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道，又要在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短．在此條件下，求：

（1）賽車(chē)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，不脫離軌道的最小速度V_p；

（2）賽車(chē)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程x；

（3）賽車(chē)電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間t．

Answer 1

考點(diǎn)：  機(jī)械能守恒定律；動(dòng)能定理．

專(zhuān)題：  機(jī)械能守恒定律應(yīng)用專(zhuān)題．

分析：  （1）賽車(chē)在電動(dòng)機(jī)牽引力作用下從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)滑行，正好能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短．因此利用車(chē)恰能通過(guò)軌道最高來(lái)求出P點(diǎn)速度；

（2）（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出進(jìn)入軌道C點(diǎn)的最小速度，從而由動(dòng)能定理來(lái)求出CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程，同時(shí)再由動(dòng)能定理來(lái)求出賽車(chē)電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間．

解答：  解：（1）要求賽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短，則賽車(chē)經(jīng)過(guò)圓軌道P點(diǎn)時(shí)速度最小，此時(shí)賽車(chē)對(duì)軌道的壓力為零，重力提供向心力：

mg=m

V_p===m/s

（2）賽車(chē)在C點(diǎn)的速度為v_C，由機(jī)械能守恒定律可得：

mg•2R+mV=mV

由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：

v_C=5 m/s

設(shè)賽車(chē)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程為x，由動(dòng)能定理可得：﹣kmgx=0﹣mV

代入數(shù)據(jù)可得：x=2.5 m 

（3）由于豎直圓軌道光滑，由機(jī)械能守恒定律可知：

v_B=v_C=5 m/s 

從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由能量守恒定律可得：

P_t=kmgL+mV

代入數(shù)據(jù)可得：t=4.5 s

答：（1）賽車(chē)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，不脫離軌道的最小速度V_p為m/s；

（2）賽車(chē)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程x為2.5m；

（3）賽車(chē)電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間t為4.5s．

點(diǎn)評(píng)：  本題突破口是小車(chē)恰能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，就是小車(chē)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程．同時(shí)對(duì)動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律理解．