Question

11．假設(shè)某傘兵做跳傘訓(xùn)練，他從懸停在空中的直升機(jī)上由靜止跳下，跳離直升機(jī)一段時間后打開降落傘做減速下落．若他離地面約為100m時迅速打開降落傘，他打開降落傘后的速度圖線如圖甲所示，降落傘用8根對稱的繩懸掛運(yùn)動員，每根繩與中軸線的夾角均為37°，如圖乙所示．已知人的質(zhì)量為60kg，降落傘質(zhì)量為10kg，不計打開降落傘前傘兵下落所受的阻力，打開傘后降落傘所受阻力F_f與速度v成正比，即F_f=kv，k為阻力系數(shù)，求（取g=10m/s²）：
（1）打開降落傘瞬間傘兵的加速度a；
（2）為安全起見，每根懸繩至少應(yīng)能承受多大的拉力；
（3）傘兵打開降落傘到落地的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)人和降落傘一起做勻速運(yùn)動時，結(jié)合此時的速度，根據(jù)共點(diǎn)力平衡求出阻力系數(shù)．對整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出打開傘瞬間的加速度a的大小和方向；
（2）當(dāng)加速度最大時，繩子的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律求出拉力．
（3）傘兵開始時做減速運(yùn)動，加速度不斷變化，向右使用積分的方法求出位移，也可以將減速運(yùn)動分成時間非常短的小段，然后依次求出，最后進(jìn)行求和即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)人和降落傘的速度v=5m/s時做勻速運(yùn)動，則：
kv=（M+m）g，
解得：k=140N•s/m   
對整體，根據(jù)牛頓第二定律得：kv₀-（M+m）g=（M+m）a，
代入數(shù)據(jù)解得：a=30m/s²，方向豎直向上
（2）設(shè)每根繩拉力為T，以運(yùn)動員為研究對象有：
8Tcos30°-（M+m）g=（M+m）a，
T=$\frac{500\sqrt{3}}{3}$N≈375N
由牛頓第三定律得：懸繩能承受的拉力至少為375N．
（3）將下落過程分成無數(shù)個小段，每小段內(nèi)△t→0內(nèi)，系統(tǒng)下落可視為勻變速運(yùn)動（以向上為正方向），
有ΣF=（M+m）a可得：$k\overline{{v}_{1}}-（M_m）g=（M+m）•\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{△t}$；
$k\overline{{v}_{2}}-（{M}_{m}）g=（M+m）•\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{△t}$
…
$k\overline{{v}_{n}}-（{M}_{m}）g=（M+m）•\frac{{v}_{n}-{v}_{n-1}}{△t}$
將上列式子兩邊求和：$∑k\overline{{v}_{i}}•△t-（{M}_{m}）g△t=（M+m）•（{v}_{t}-{v}_{0}）$
聯(lián)立得：kH-（m+M）gt=（m+M）（v_t-v_0）
由題：v_t=-5m/s；v₀=-20m/s
解得：t=$\frac{gH-{v}_{t}（{v}_{t}-{v}_{0}）}{{v}_{t}g}$=$\frac{10×100-5×（5-20）}{5×10}$=18.5s
答：（1）打開降落傘瞬間傘兵的加速度是-30m/s²，方向豎直向上；
（2）為安全起見，每根懸繩至少應(yīng)能承受375N的拉力；
（3）傘兵打開降落傘到落地的時間是18.5s．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的讀圖能力，通過圖線能夠得出人和降落傘的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合共點(diǎn)力平衡和牛頓第二定律進(jìn)行求解．