Question

【題目】如圖所示，在一固定且足夠長(zhǎng)的斜面上，將A、B兩個(gè)小物塊由靜止釋放，A、B系統(tǒng)即開始在斜面上沿同一直線運(yùn)動(dòng)。已知：A、B間初始距離為s =m，A、B間若發(fā)生碰撞則為彈性正碰，A、B兩物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1=、μ2 =，斜面傾角為θ且滿足sinθ =、cosθ =，重力加速度g = 10m/s2。試回答下列問題：

(1)若A、B質(zhì)量之比為2：1，第一次碰后的運(yùn)動(dòng)中A、B系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒，求從釋放至A、B第2次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間；

(2)若A、B質(zhì)量相等，求A、B間第9次碰撞前A、B的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）s ；（2），0

【解析】(1)設(shè)A、B質(zhì)量分別為2m、m，以沿斜面向下為正方向，A、B沿斜面下滑時(shí)所受合力分別為

FA = 2mg(sinθ -μ1cosθ) =

FB = mg(sinθ –μ2cosθ) =

可見只要A、B都在沿斜面下滑時(shí)，系統(tǒng)合力為0，動(dòng)量守恒，若B停下不滑則所受摩擦力為靜摩擦，則系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。A、B下滑時(shí)加速度

從釋放至第一次碰撞的時(shí)間t0 = = 1s

第一次碰前A的速度v0 = a1t0 =

第一次碰撞至第二次碰撞過程，設(shè)B一直下滑，A、B位移相等皆為x，對(duì)A、B由動(dòng)能定理

FAx = ΔEkA

FBx = ΔEkB

由此可見，若B一直保持下滑，則第一次碰前碰后及第二次碰前碰后系統(tǒng)動(dòng)能皆相等

解得：

或

其中前一組解為第一次碰后狀態(tài)，后一組解為第二次碰前狀態(tài)，由此可知在第二次碰前B速度剛好減為0，B一直保持下滑的假設(shè)是正確的，第二次碰前的狀態(tài)與第一次碰前相同，系統(tǒng)將不斷重復(fù)此運(yùn)動(dòng)。兩次碰撞的時(shí)間間隔始終為

系統(tǒng)在第一次碰撞后確實(shí)一直動(dòng)量守恒，從釋放到第2次碰撞所花時(shí)間為t = t0 + T = s

(2)A、B質(zhì)量雖不一樣，但它們下滑時(shí)加速度不變?nèi)詾樯蠁柕?/span>a1 = 、a2=，質(zhì)量相等的物體彈性正碰結(jié)果為速度交換，因此第一次碰后A速度為0，B速度為v0，之后B滑行至停下用時(shí)

t1 =

此時(shí)A速度

vA = a1t1 = =

此過程A平均速度為，B速度為，顯然A還未追上B，設(shè)A追上靜止的B時(shí)速度為v，則由位移關(guān)系有

在此計(jì)算中v0一直未代入數(shù)據(jù)，說明第n次碰前A速度為第n-1次前A速度的，所以第9次碰前A的速度為

第9次碰前B的速度為0

點(diǎn)睛:本題考查了動(dòng)量守恒定律和動(dòng)力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵理清A、B在碰撞前后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)牛頓定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等對(duì)每一步物理過程進(jìn)行討論,最后歸納解答，難度中等．