Question

如圖所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對(duì)幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN，P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直地放置．已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計(jì)，極板長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.2m，板間電壓都是U=6V且P板電勢(shì)高．金屬板右側(cè)邊界以外存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1×10^-4kg，電量q=-2×10^-4C的小球在水平面上以初速度v₀=4m/s從平行板PQ間左側(cè)中點(diǎn)O₁沿極板中線O₁O₁^′射入．
（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ的速度；
（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終從極板MN的左側(cè)中點(diǎn)O₂沿中線O₂O₂^′射出，則金屬板Q、M間距離是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在PQ金屬板間在豎直方向受到的重力和支持力平衡，水平方向只受電場(chǎng)力，初速度平行板PQ，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，將小球的運(yùn)動(dòng)分解：平行于板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解小球剛穿出平行金屬板PQ的速度．
（2）題中P板電勢(shì)高，在電場(chǎng)中小球向P板偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入后磁場(chǎng)后豎直方向重力和支持力仍平衡，由洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，畫出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡．在MN板間的運(yùn)動(dòng)可看作類平拋運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程處理．由牛頓定律求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，運(yùn)用幾何知識(shí)求解金屬板Q、M間距離．

解答：解：（1）小球在PQ金屬板間做類平拋運(yùn)動(dòng)．
      小球的加速度a=

qE

m

=

qU

md

=60m/s²
      小球在PQ板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

L

v0

=0.05s
   則離開PQ板時(shí)的速度為v=

v 2 0 + v 2 y

=

v 2 0 +(at)2

=5m/s
   設(shè)v方向與PQ板中軸線的夾角為θ，則tanθ=

vy

v0

=

3

4

，θ=37°
  （2）作出俯視圖如下．
   由題，P板電勢(shì)高，則在電場(chǎng)中小球向P板偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入后磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，則必須N板電勢(shì)高于M板電勢(shì)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
    設(shè)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則
      qvB=m

v2

R

，得R=

mv

qB

=0.5m
   設(shè)小球射入和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離為h，
由幾何知識(shí)得   h=2Rcosθ=2×0.5×0.8m=0.8m
小球在兩平行金屬板間偏轉(zhuǎn)的距離y=

1

2

at2=7.5×10^-3m
根據(jù)對(duì)稱性可知，金屬板Q、M間距離是s=h-2（

1

2

d+y）=0.45m
答：（1）小球剛穿出平行金屬板PQ的速度大小為5m/s，方向與板中軸線的夾角為37°；
    （2）金屬板Q、M間距離是0.45m．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)研究方法不同：電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)采用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)畫軌跡．