Question

2009年3月1日16時(shí)13分10秒，中國(guó)自主研制的第一個(gè)月球探測(cè)器（嫦娥一號(hào)）成功實(shí)現(xiàn)“受控撞月”，為我國(guó)探月一期工程畫上圓滿的句號(hào)．
（1）設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，“受控撞月”開始前探測(cè)器在離月球表面高為h的圓形環(huán)月軌道上正常運(yùn)行．求它在此軌道上正常運(yùn)行的線速度大�。�
（2）假設(shè)此次進(jìn)行“受控撞月”開始的過程按圖甲所示進(jìn)行，探測(cè)器在A點(diǎn)向前短時(shí)間噴氣，減速后的探測(cè)器做向心運(yùn)動(dòng)沿曲線到達(dá)月球表面附近的B點(diǎn)．估算從A到B所用時(shí)間？分析從A到B過程中在探測(cè)器內(nèi)懸掛物體的彈簧秤讀數(shù)的變化？
（3）為了增加撞擊效果，撞擊前要利用剩余的燃料對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，圖乙所示為探測(cè)器到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度方向的示意圖，為了使探測(cè)器能夠沿此方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?jiān)趫D乙中用由坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)的有向線段表示出可能的一種發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于探測(cè)器在環(huán)月軌道上正常運(yùn)行，由萬有引力提供向心力，月球表面的物體受到的重力等于萬有引力．由此兩式可解得它在此軌道上正常運(yùn)行的線速度大小．
（2）減速后的探測(cè)器做橢圓運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為半個(gè)周期．根據(jù)開普勒第三定律求出周期，即可求出時(shí)間．從A到B過程中在探測(cè)器內(nèi)懸掛物體的彈簧秤讀數(shù)為0．
（3）為了使探測(cè)器能夠沿v_B方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，所以發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間某一條直線上．

解答：解：（1）設(shè)月球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的線速度為v，則
  G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

        ①
又在月球表面上，G

Mm

R2

=mg    ②
由①②兩式得 v=R

g R+h

      ③
（2）探測(cè)器圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₁=

2π(R+h)

v

=

2π(R+h)

R

R+h g

由開普勒第三定律得

T 2 1

T 2 2

=

(R+h)3

( 2R+h 2 )3

則橢圓運(yùn)動(dòng)的周期T₂=

2π

R

(2R+h)3 8g

t=

1

2

T₂=

π

R

(2R+h)3 8g

．
從A到B過程中在探測(cè)器內(nèi)懸掛物體的彈簧秤讀數(shù)保持為0不變．                
（3）為了使探測(cè)器能夠沿v_B方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，
探測(cè)器已受月球的引力，沿y周負(fù)方向，故發(fā)動(dòng)機(jī)的推力一定要在y軸正方向和v_B之間，這樣合力才可能沿v_B的方向．所以發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間某一條直線上．
故由O點(diǎn)出發(fā)在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間的有向線段都正確．（不包括y軸負(fù)方向和v_B的反方向）．
答：
（1）探測(cè)器在此軌道上正常運(yùn)行的線速度大小是R

g R+h

．
（2）從A到B所用時(shí)間為

π

R

(2R+h)3 8g

．從A到B過程中在探測(cè)器內(nèi)懸掛物體的彈簧秤讀數(shù)保持為0不變．
（3）為了使探測(cè)器能夠沿此方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，由O點(diǎn)出發(fā)在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間的有向線段都正確．

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是兩個(gè)理論的應(yīng)用：1．萬有引力提供向心力；2．萬有引力近似等于重力．