Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長L=0.2m，板間距d=0.2m，兩金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，并在兩板間形成交變的勻強(qiáng)電場，忽略其邊緣效應(yīng)，在金屬板上側(cè)有一方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其上下寬度D=0.4m，左右范圍足夠大，邊界MN和PQ均與金屬板垂直，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1×l0^-2T．在極板下側(cè)中點(diǎn)O處有一粒子源，從t=0時起不斷地沿著OO’發(fā)射比荷

q

m

=1×l0⁸ C/kg．初速度為v₀=2×l0⁵m/s的帶正電粒子，忽略粒子重力、粒子間相互作用以及粒子在極板間飛行時極板間的電壓變化．

（1）求粒子進(jìn)入磁場時的最大速率；
（2）對于能從MN邊界飛出磁場的粒子，其在磁場的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的間距s是否為定值？若  是，求出該值；若不是，求s與粒子由O出發(fā)的時刻t之間的關(guān)系式；
（3）定義在磁場中飛行時間最長的粒子為{A類粒子}，求出{A類粒子}在磁場中飛行的時間，以及由O出發(fā)的可能時刻．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)粒子從極板的右邊緣射出時，粒子的速度最大，根據(jù)粒子在勻強(qiáng)電場中的偏轉(zhuǎn)，通過偏轉(zhuǎn)位移求出偏轉(zhuǎn)的電壓，再通過動能定理求出粒子射出電場時的最大速度．
（2）設(shè)粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ，根據(jù)類平拋運(yùn)動求出射出電場時的速度與初速度的關(guān)系，再根據(jù)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，求出半徑的表達(dá)式，從而求出入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的距離表達(dá)式，看是否與夾角θ有關(guān)．
（3）當(dāng)帶電粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角最大，運(yùn)動的時間最長．類平拋運(yùn)動豎直方向上的分速度越大，粒子射出電場速度方向與MN間夾角越小，圓心角越大，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大圓心角，即可求出粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間，進(jìn)而求出由O出發(fā)的可能時刻．

解答：解：（1）設(shè)偏轉(zhuǎn)的電壓為U₀時，粒子剛好能經(jīng)過極板的右邊緣射出．

1

2

d=

1

2

?

qU0

md

?(

L

v0

)2
解得：U₀=400V．
知偏轉(zhuǎn)電壓為400V時，粒子恰好能射出電場，且速度最大．
根據(jù)動能定理得，

1

2

mv_m²-

1

2

mv₀²=q

U0

2

解得：v_m=2

2

×10⁵m/s
（2）如圖，設(shè)粒子射出電場速度方向與OO′間夾角為θ．
粒子射出電場時速度大小為：v=

v0

cosθ

qBv=m

v2

R

由幾何關(guān)系得：s=2Rcosθ
解得：s=

2mv0

qB

=0.4m，是一個定值．
（3）如上小題圖，{A類粒子}在電場中向B板偏轉(zhuǎn)，在磁場中的軌跡恰好與上邊界相切，
則有：R（1+sinθ）=D
聯(lián)立以上各式，可得：sinθ=0.6，所以θ=37°
則在磁場中飛行的時間為：t=

180+2×37

360

?

2πm

Bq

=

127

90

π×10-6s
進(jìn)入磁場時，vy1=v0tanθ=1.5×105m/s
又vy1=

qU1

md

?

L

v0

對應(yīng)AB的電壓為U₁=300V
所以粒子從O點(diǎn)出發(fā)的時刻可能是t=4n+0.4s（n=0，1，2…）
答：（1）粒子進(jìn)入磁場時的最大速率為2

2

×10⁵m/s；
（2）對于能從MN邊界飛出磁場的粒子，其在磁場的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的間距s是定值，s=0.4m；
（3）{A類粒子}在磁場中飛行的時間為

127

90

π×10-6s，由O出發(fā)的可能時刻為t=4n+0.4s（n=0，1，2…）．

點(diǎn)評：本題考查了帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)和在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵掌握處理類平拋運(yùn)動的方法，掌握粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑公式和周期公式，以及運(yùn)動時間與圓心角的關(guān)系．