Question

如圖所示，質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為v₀．現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：
（1）電子從y軸穿過(guò)的范圍；
（2）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度；
（3）所加磁場(chǎng)范圍的最小面積．

Answer 1

分析：（1）從第一象限射入的電子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的正方向）分布在0°到90°的范圍內(nèi)，沿x軸正方向射入的電子的偏轉(zhuǎn)角最大，經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)距O點(diǎn)最遠(yuǎn)．經(jīng)分析可知，此距離為電子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑的2倍．
（2）做出平行于x軸入射的電子軌跡和垂直于x軸入射的電子的軌跡，兩個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)半徑相同，通過(guò)幾何關(guān)系可知電子打到熒光屏MN上的長(zhǎng)度等于軌跡的半徑．
（3）結(jié)合平行于x軸射入的電子和垂直于x軸方向射入的電子的軌跡，集合幾何關(guān)系可得知磁場(chǎng)最小面積時(shí)的圖形，從而可得出最小面積．

解答：解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得：
ev0B=m

v 2 0

R

即：R=

mv0

eB

電子從y軸穿過(guò)的范圍為：
OM=2R=2

mv0

eB

（2）如圖所示，初速度沿x軸正方向的電子沿弧OA運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)；初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的Q點(diǎn)；由幾何知識(shí)可得：
PQ=R=

mv0

eB

（3）取與x軸正方向成θ角的方向射入的電子為研究對(duì)象，其射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為E（x，y），因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：
x=-Rsinθ
y=R+Rcosθ
即：x²+（y-R）²=R²
又因?yàn)殡娮友豿軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)；沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，故所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以（0，R）為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖中實(shí)線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場(chǎng)范圍的最小面積為：
S=

3

4

πR2+R2-

1

4

πR2=(

π

2

+1)(

mv0

eB

)2
答：（1）電子從 y軸穿過(guò)的范圍為2

mv0

eB

；
（2）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度為

mv0

eB

；
（3）所加磁場(chǎng)范圍的最小面積為(

π

2

+1)(

mv0

eB

)2．

點(diǎn)評(píng)：該題在審題時(shí)要關(guān)注以下兩點(diǎn)：
（1）從第一象限射入的電子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的正方向）分布在0°到90°的范圍內(nèi)．
（2）電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”這個(gè)條件．
巧解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：
（1）分析思路三步走：①確定圓心，畫出軌跡； ②找?guī)缀侮P(guān)系，定物理量； ③畫動(dòng)態(tài)圖，定臨界狀態(tài)．
（2）分析方法四優(yōu)法：①幾何對(duì)稱法：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的中垂線對(duì)稱．②動(dòng)態(tài)放縮法：速度越大半徑越大，但速度方向不變的粒子圓心在垂直速度方向的直線上．③旋轉(zhuǎn)平移法：定點(diǎn)粒子源發(fā)射速度大小相等、方向不同的所有粒子的軌跡圓圓心在以入射點(diǎn)為圓心，半徑R=

mv0

qB

的圓上，相當(dāng)于將一個(gè)定圓以入射點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)．④數(shù)學(xué)解析法：寫出軌跡圓和圓形邊界的解析方程，應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)知識(shí)求解．