Question

14．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)懸于O點(diǎn)，與O點(diǎn)處于同一水平線(xiàn)上的P點(diǎn)處有一個(gè)光滑的細(xì)釘，已知0P=$\frac{L}{2}$，在A(yíng)點(diǎn)給小球一個(gè)水平向左的初速度，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達(dá)跟P點(diǎn)在同一豎直線(xiàn)上的最高點(diǎn)B，重力加速度為g，則（不計(jì)空氣阻力，繩不會(huì)被拉斷）：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率為多大？
（2）若初速度v₀=2$\sqrt{gL}$，小球能否到達(dá)B點(diǎn)？若能到達(dá)，在B點(diǎn)繩受到小球的拉力為多大？
（3）若要計(jì)空氣阻力，且給小球向左的初速度v₀′=3$\sqrt{gL}$時(shí)小球恰能到達(dá)B點(diǎn)，求空氣阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)B，根據(jù)重力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得到達(dá)B時(shí)的速率大小；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，注意判定是否滿(mǎn)足到達(dá)B點(diǎn)的條件，再根據(jù)牛頓第二定律求得繩對(duì)小球的拉力大��；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求得空氣阻力對(duì)小球所做的功．

解答 解：（1）小球恰好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足：
mg=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{\frac{gL}{2}}$
（2）設(shè)小球能從A運(yùn)動(dòng)到B，由機(jī)械能守恒定律有：
$mg\frac{3L}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得：${v}_{B}^{′}=\sqrt{gL}$$＞\sqrt{\frac{gL}{2}}$
所以小球能到達(dá)B點(diǎn)
在點(diǎn)B，對(duì)小球受力分析有：
mg+T=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{\frac{L}{2}}$
代入可解得：T=mg
根據(jù)牛頓第三定律可知繩受到小球的拉力T′=T=mg
（3）設(shè)小球能從A運(yùn)動(dòng)到B，由動(dòng)能定理有：
$-mg\frac{3L}{2}+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：W_f=$-\frac{11}{4}mgL$
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{gL}{2}}$；
（2）若初速度v₀=2$\sqrt{gL}$，小球能到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)繩受到小球的拉力為mg；
（3）若要計(jì)空氣阻力，且給小球向左的初速度v₀′=3$\sqrt{gL}$時(shí)小球恰能到達(dá)B點(diǎn)，空氣阻力做的功為$-\frac{11}{4}mgL$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理的綜合，知道恰好到達(dá)最高點(diǎn)的臨界情況，即拉力為零，重力提供向心力