Question

13．質(zhì)譜儀是一種利用電磁場測量帶電粒子質(zhì)量或者分析同位素的重要工具．一臺(tái)質(zhì)譜儀的簡化結(jié)構(gòu)如圖甲所示，粒子源不斷產(chǎn)生出大量質(zhì)量為m、電量為q、初速度不計(jì)的粒子“飄入”加速電場中，經(jīng)電壓U加速后，經(jīng)小孔P沿垂直極板方向進(jìn)入垂直紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，旋轉(zhuǎn)半周后打在熒光屏上形成亮點(diǎn)．不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用力．

（1）若單位時(shí)間內(nèi)從小孔P射出的粒子個(gè)數(shù)為n，求粒子剛射出時(shí)速度大小v₀以及粒子擊中熒光屏?xí)r對屏的平均作用力大�。〒糁衅梁罅Ｗ硬环磸棧�；
（2）受加速場實(shí)際結(jié)構(gòu)的影響，從小孔P處射出的粒子方向會(huì)有微小角度的發(fā)散，現(xiàn)在只討論在紙面內(nèi)有相對極板垂線左右相等的微小角度的發(fā)散（但速度大小都為v₀），光屏上會(huì)出現(xiàn)亮線．若粒子源產(chǎn)生的粒子電量均為q，但質(zhì)量有m₁、m₂兩種（m₂＞m₁），小孔P處粒子速度方向相對極板垂線最大發(fā)散角度滿足什么條件時(shí)兩種粒子在屏上形成的亮線恰能重合，并求出這種情況下兩種粒子形成亮線的總寬度△x．
（3）利用小孔P處射出的粒子方向微小角度發(fā)散的現(xiàn)象可以測定粒子的荷質(zhì)比，其原理可以粗略地按以下模型討論；若粒子源產(chǎn)生的是同一種粒子，將磁場的方向改為垂直極板方向（如圖乙），把熒光屏從緊靠極板位置開始在磁場中逐漸向下緩慢平移，屏上出現(xiàn)亮斑先變大，后變小的現(xiàn)象，當(dāng)屏與極板距離為d時(shí)，亮斑第一次收縮為一個(gè)亮點(diǎn)，求該粒子的荷質(zhì)比．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理可以求出粒子的速度，應(yīng)用動(dòng)量定理可以求出作用力．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子軌道半徑，然后求出寬度．
（3）根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與勻速運(yùn)動(dòng)的位移公式可以求出荷質(zhì)比．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
對粒子，由動(dòng)量定理得：-Ft=0-Nmv₀，
時(shí)間：t=$\frac{N}{n}$，解得：F=n$\sqrt{2qmU}$，
由牛頓第三定律可知，粒子對屏的平均作用力大小為：n$\sqrt{2qmU}$；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，qv₀B=m₂$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：R₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q}}$，R₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q}}$，
設(shè)粒子速度方向左右最大發(fā)散角均為θ，由幾何關(guān)系各，
沿左右最大發(fā)散角方向射入磁場的粒子擊中光屏上的同一點(diǎn)，且是光斑的最右側(cè)邊緣點(diǎn)．
設(shè)左右最大發(fā)散角均為θ時(shí)，粒子m₂光斑的右邊緣恰好與粒子m₁光斑的左邊緣重合，
如圖所示（圖中虛線為m₂半圓軌跡和向左發(fā)散θ角軌跡，
實(shí)線為m₁半圓軌道和向左發(fā)散θ角軌跡，
則：2R₂cos=2R₁，解得：cosθ=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}}$，
此時(shí)兩種粒子光班總寬度為：△x=2R₂-2R₁cosθ，
△x=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2U}{q}}$（$\sqrt{{m}_{2}}$-m₁$\sqrt{\frac{1}{{m}_{2}}}$）；
（3）將發(fā)散射入磁場的粒子速度分解為沿磁場方向的速度v和垂直于磁場方向的分速度v_⊥，
v=v₀cosθ，v_⊥=v₀sinθ，由于θ很小，所以cosθ≈1即不同發(fā)散角度的所有粒子的v都近似相等，即：v=v₀，
而發(fā)散角度不同的各粒子的v_⊥有明顯不同，粒子沿v方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
沿v_⊥方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；v方向所有粒子的速度都一樣，v_⊥方向速度不同，軌跡半徑不同，但圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同．
這樣不同發(fā)散角度的粒子都從同一位置出發(fā)，沿磁感線方向做半徑不同的螺旋線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一個(gè)周期，它們都回旋一周，
同時(shí)向前推進(jìn)相同的距離，這樣，他們又匯聚在同一點(diǎn)上，即在光屏形成一個(gè)亮點(diǎn)．粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
由勻速運(yùn)動(dòng)的位移公式得：d=vT，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{8{π}^{2}U}{{B}^{2}wo2zg97^{2}}$；
答：（1）粒子剛射出時(shí)速度大小v₀為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，粒子擊中熒光屏?xí)r對屏的平均作用力大小為n$\sqrt{2qmU}$．
（2）兩種粒子形成亮線的總寬度△x為$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2U}{q}}$（$\sqrt{{m}_{2}}$-m₁$\sqrt{\frac{1}{{m}_{2}}}$）．
（3）該粒子的荷質(zhì)比為$\frac{8{π}^{2}U}{{B}^{2}iv9uqcu^{2}}$．

點(diǎn)評 粒子在電場中加速，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是解題的前提與關(guān)鍵，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、牛頓第二定律即可解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．