Question

20．如圖，一半徑為R=1m的光滑圓形軌道豎直放置，一傾角為θ=37°的粗糙斜面與圓形軌道相切，斜面上端為平臺(tái)并與圓形軌道最高點(diǎn)等高，斜面動(dòng)摩擦因素為μ=0.75，一人在平臺(tái)上距斜面上端A點(diǎn)水平距離為x處以一定的初速度水平拋出一質(zhì)量為m=1kg的物體（可看著質(zhì)點(diǎn)），設(shè)拋出點(diǎn)高度為H，要使物體剛好能沿斜面AB相切的初速度由A點(diǎn)切入斜面，則：
（1）寫出H、x應(yīng)滿足的關(guān)系式？
（2）要使物體能通過圓弧最高點(diǎn)，物體拋出時(shí)的高度H應(yīng)多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛好能沿斜面AB相切的初速度由A點(diǎn)切入斜面，通過A點(diǎn)的速度沿斜面向下，與水平方向夾角為θ=37°．根據(jù)分位移、分速度公式結(jié)合速度關(guān)系求解．
（2）要使物體能通過圓弧最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)的速度應(yīng)大于等于$\sqrt{gR}$，由動(dòng)能定理求H的條件．

解答 解：（1）物體從拋出到A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)時(shí)有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{{v}_{0}}$
x=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
聯(lián)立解得 H=$\frac{9{x}^{2}}{64}$
（2）設(shè)斜面長(zhǎng)為L(zhǎng)，由幾何知識(shí)有 L=$\frac{R（1+cos37°）}{sin37°}$=3m
要使物體能通過圓弧最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)應(yīng)滿足的條件是：m$\frac{v{′}^{2}}{R}$≥mg
從拋出到圓弧最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：
  mgH-μmgcos37°L=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
聯(lián)立解得 H≥2.3m
答：
（1）H、x應(yīng)滿足的關(guān)系式為H=$\frac{9{x}^{2}}{64}$．
（2）要使物體能通過圓弧最高點(diǎn)，物體拋出時(shí)的高度H應(yīng)滿足：H≥2.3m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、牛頓第二定律和動(dòng)能定理的基本運(yùn)用，關(guān)鍵要明確物塊在圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界情況，運(yùn)用分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行研究．