Question

在光滑絕緣的水平面上方，有一足夠大的空間，此空間同時(shí)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在水平面上沿電場(chǎng)線方向放有兩個(gè)靜止的小球A和B（均可看成質(zhì)點(diǎn)），兩小球的質(zhì)量均為m，A球帶電荷量+q，B球不帶電，開(kāi)始時(shí)兩球相距L．現(xiàn)釋放兩球，A球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、B碰撞時(shí)（碰撞時(shí)間可忽略），A、B兩球的總動(dòng)能無(wú)損失，且A、B兩球間無(wú)電荷轉(zhuǎn)移．不考慮空氣阻力，求：
（1）如果 A球與B球能夠發(fā)生碰撞，從釋放兩球至兩球發(fā)生第一次碰撞需要多長(zhǎng)時(shí)間？第一次碰撞后A、B兩球的速度各為多大？
（2）設(shè)q=2×10^-5C，E=1×10⁴N/C，m=0.1kg，B=50T，L=1cm，取g=10m/s²，各次碰撞時(shí)相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔分別是多少？A、B兩球最多能相碰幾次？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)兩球能夠發(fā)生第一次碰撞時(shí)，A球沒(méi)有離開(kāi)水平面，沿水平方向只受電場(chǎng)力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出等式，
根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求解
（2）由于碰撞中動(dòng)量守恒，總動(dòng)能不損失，列車(chē)等式．分析每一次碰撞后的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答：解：（1）當(dāng)兩球能夠發(fā)生第一次碰撞時(shí)，A球沒(méi)有離開(kāi)水平面，沿水平方向只受電場(chǎng)力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且滿足
a=

qE

m

，L=

1

2

at2      

v

2 A

=2

qE

m

L
聯(lián)立以上各式得：t=

2mL qE

．
 vA=

2qEL m

即經(jīng)過(guò)時(shí)間t=

2mL qE

．兩球發(fā)生第一次碰撞．
A球與B球第一次碰撞時(shí)，動(dòng)量守恒，則mv_A=mv′_A+mv′_B
根據(jù)題意，總能量不損失，則

1

2

m

v

2 A

=

1

2

mv′

2 A

+

1

2

mv′

2 B

聯(lián)立解得

v

/ A

=0，

v

/ B

=vA=

2qEL m

（2）設(shè)v0=vA=

2qEL m

，t0=t=

2mL qE

，a=

qE

m

代入數(shù)值求得v₀=0.2m/s    t₀=0.1s     a=2m/s²         
設(shè)每次碰撞前，A、B的速度分別為v₁、v₂，碰撞后分別為

v

/ 1

、

v

/ 2

，由于碰撞中動(dòng)量守恒，總動(dòng)能不損失，所以：

mv1+mv2=m v / 1 +m v / 2 1 2 mv12+ 1 2 mv22= 1 2 mv′ 2 1 + 1 2 mv′ 2 2

解得 

v

/ 1

=v2

v

/ 2

=v1
即碰撞后兩球總是交換速度．
由上一問(wèn)可知，第一次碰后A球速度為0，此后作勻加速直線運(yùn)動(dòng)；B球作速度為v₀的勻速直線運(yùn)動(dòng)．
設(shè)第二次碰撞前A球速度為v_A2，所用時(shí)間為△t₂，則

1

2

a(△t2)2=v0△t2
v_A2=a△t₂
解得v_A2=2v₀
△t₂=2t₀
碰撞后，交換速度，A的速度變?yōu)関₀，B的速度變?yōu)?v₀
設(shè)第三次碰撞前A球速度為v_A3，所用時(shí)間為△t₃，則

v0△t3+ 1 2 a(△t3)2=2v0△t3 vA3=v0+a△t3

解得v_A3=3v₀
△t₃=2t₀
再次碰撞后，交換速度，A的速度變?yōu)?v₀，B的速度變?yōu)?v₀
同理可證，第一次碰撞后的過(guò)程中，A、B每次碰撞前的加速過(guò)程（即相鄰兩次碰撞的間隔），時(shí)間均相等，為
2t=0.2s    
同時(shí)可得，A球加速n次后的速度為nv₀．碰后速度為（n-1）v₀．每一次碰后至下一次碰前速度增加2v₀
設(shè)加速n次后A球剛要離開(kāi)地面，則
nqv₀B=mg                              
代值解得          
n=5×10³
即最多碰5000次．
答：（1）如果A球與B球能夠發(fā)生碰撞，從釋放兩球至兩球發(fā)生第一次碰撞需要t=

2mL qE

，第一次碰撞后A、B兩球的速度各為

v

/ A

=0，

v

/ B

=vA=

2qEL m

．
（2）各次碰撞時(shí)相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔分別是0.1s和0.2s．A、B兩球最多能相碰5000次．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需要掌握動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律的應(yīng)用，能運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解問(wèn)題．