Question

如圖所示，在一個(gè)傾角為θ=37°（cos37°=0.8）的斜面上，O點(diǎn)固定一根細(xì)繩，細(xì)繩另一端連接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)．現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)放到斜面上P點(diǎn)，由靜止釋放，已知OP連線水平且間距為繩長(zhǎng)，質(zhì)點(diǎn)滑動(dòng)到細(xì)繩轉(zhuǎn)過(guò)角度α=90°的位置時(shí)剛好停止．問(wèn)：
（1）質(zhì)點(diǎn)與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ為多少？
（2）試描述質(zhì)點(diǎn)放到斜面上哪些位置時(shí)可以平衡？已知最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等．

Answer 1

分析：（1）對(duì)從P點(diǎn)到最低點(diǎn)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式分析求解即可；
（2）對(duì)小球受力分析，重力、支持力、摩擦力、拉力，重力和支持力的合力為mgsinθ，平行斜面向下，為恒力；拉力和靜摩擦力垂直，根據(jù)三角形定則進(jìn)行分析即可．

解答：解：（1）將重力分解為下滑分力和垂直斜面分力，有
G₁=mgsinθ
G₂=mgcosθ
由于物體在垂直斜面方向無(wú)滑動(dòng)，受力平衡，故
N=G₂=mgcosθ                      （1）
則物體所受的滑動(dòng)摩擦力
f=μN(yùn)=mgcosθ                      （2）
在物體擺動(dòng)90度的過(guò)程中，由動(dòng)能定理，有
mgsinθ?L-f?

π

2

L=0-0          （3）
由（2）（3）可得：
μ=

2tanθ

π

=

3

2π

                    （4）

（2）根據(jù)上問(wèn)數(shù)據(jù)可知
f＜G₁
所以如果沒(méi)有細(xì)繩物體不可能在斜面上平衡，所以物體平衡時(shí)應(yīng)該使細(xì)繩拉緊，物體首先應(yīng)停在斜面上以O(shè)為圓心，繩子長(zhǎng)為半徑的圓上．
假設(shè)物體處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜摩擦力f，設(shè)此時(shí)細(xì)繩與OP夾角α₀，由物體平衡，三力合力為零，固有
cosα0=

f

G1

=

μ

tanθ

=

2

π

                （5）
綜上所述，物體能夠平衡的位置為以O(shè)為圓心，下方使得細(xì)繩與OP夾角α取值范圍為：[arccos

2

π

，π-arccos

2

π

]
答：（1）質(zhì)點(diǎn)與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ為

3

2π

；
（2）物體能夠平衡的位置為以O(shè)為圓心，下方使得細(xì)繩與OP夾角α取值范圍為：[arccos

2

π

，π-arccos

2

π

]．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于力不共面，可以先將重力按照作用效果正交分解，分解為平行斜面和垂直斜面的兩個(gè)分力，然后將四個(gè)力平衡轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ娜�力平衡�?wèn)題．