Question

6．在以O(shè)為圓心，夾角為60°的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大量的帶正電粒子從OC邊界沿垂直O(jiān)C方向（紙面內(nèi)）以各種速度射入磁場(chǎng)，已知磁感強(qiáng)度為B，粒子重量為m，電量為q，OC長(zhǎng)為L(zhǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）若OC邊上存在一點(diǎn)P（圖上未標(biāo)出），滿足從OP之間射入磁場(chǎng)的所有粒子都無(wú)法從CD邊界射出，求P點(diǎn)與O點(diǎn)間的最大距離；
（2）在OC邊上另取一點(diǎn)O（圖上未標(biāo)出），且OQ=λL（0＜λ＜1），若從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)的粒子能從OD邊射出，粒子速度應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求出粒子軌道半徑，然后分析答題；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子從OD射出的臨界軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出粒子的臨界速度，最后確定其速度范圍．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$
因此可知，粒子運(yùn)動(dòng)的速度越大，則圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越大，
如果速度很大，則其運(yùn)動(dòng)的半徑就非常大，一小段軌跡就接近是直線了．

而題目說(shuō)以任意速度粒子都不能從CD射出，故過(guò)D做OC的垂線，交OC于P點(diǎn)，
則粒子從此點(diǎn)垂直O(jiān)C射入，不管速度v多大都不能夠從CD邊射出，
由幾何知識(shí)可知，OP的最大距離：x=Lcos60°=$\frac{1}{2}$L；
（2）粒子軌跡與OD恰好相切時(shí)粒子恰好不從OD射出，軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：r+$\frac{r}{sin60°}$=λL，
解得：r=$\frac{3λL}{2\sqrt{3}+3}$，
粒子恰好從D點(diǎn)射出時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：r′²=L²+（r′-λL）²-2L（r′-λL）cos120°，
解得：r′=$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）L}{2λ-1}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\frac{qBr}{m}$，
則：v=$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$，v′=$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$，
粒子不從OD射出時(shí)速度滿足的條件是：$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$＜v≤$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$；
答：（1）從OP之間射入磁場(chǎng)的所有粒子都無(wú)法從CD邊界射出，P點(diǎn)與O點(diǎn)間的最大距離為$\frac{1}{2}$L；
（2）從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)的粒子能從OD邊射出，粒子速度應(yīng)滿足的條件是$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$＜v≤$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律可以解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．