Question

如圖所示，放在傾角為30°的固定斜面上的正方形導(dǎo)線框abcd與重物之間用足夠長(zhǎng)的細(xì)線跨過光滑的輕質(zhì)定滑輪連接，線框的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、電阻為R，重物的質(zhì)量為

7

8

m．現(xiàn)將線框沿bc方向拋出，穿過寬度為D、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直斜面向上．線框向下離開磁場(chǎng)時(shí)的速度剛好是進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)速度的

1

n

（n大于1），線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)下滑一段距離，然后上滑并勻速進(jìn)人磁場(chǎng)．線框與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為

1

4 3

，不計(jì)空氣阻力，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中線框始終與斜面平行且不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，斜細(xì)線與bc邊平行，cd邊與磁場(chǎng)邊界平行．求：
（1）線框在上滑階段勻速進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的速度υ₂大小；
（2）線框在下滑階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度υ₁大小；
（3）線框在下滑階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）線框在上滑階段勻速進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)沿斜面的方向受到的重力的分力與摩擦力、安培力、繩子的拉力和合力為0，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡和法拉第電磁感應(yīng)定律得出線框的速度；
（2）選取重物與線框組成的系統(tǒng)為研究的對(duì)象，線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)下滑一段的過程中以及返回的過程中重力與摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定律，即可求得線框在下滑階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度υ₁大小；
（3）線框在下滑并通過磁場(chǎng)過程中選取重物與線框組成的系統(tǒng)為研究的對(duì)象，重力、摩擦力和安培力做功，根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）線框在上滑勻速進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)沿斜面的方向受到的重力的分力與摩擦力、安培力、繩子的拉力和合力為0，有
mgsin30°+μmgcos30°+BIL-Mg=0
而：I=

E

R

E=BLv₂
解得：v2=

mgR

4B2L2

（2）選取重物與線框組成的系統(tǒng)為研究的對(duì)象，線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)下滑一段的過程中的過程中重力與摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定律：
mgsin30°?h-

7

8

mgh-μmgcos30°?h=0-

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 1

進(jìn)入磁場(chǎng)前的上滑階段：
-mgsin30°?h+

7

8

mgh-μmgcos30°?h=

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 2

-0
聯(lián)立以上3公式解得：v1=

2 mgR

4B2L2

（3）設(shè)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v 0，線框在下滑穿越磁場(chǎng)的過程中，由系統(tǒng)的能量守恒得：

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 0

-

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 1

=

7

8

mg(L+D)-mgsin30°(L+D)+μmgcos30°(L+D)+Q
由題目知：v₀=nv₁
解得：Q=

15m3g2R2(n2-1)

128B4L4

-

1

2

mg(L+D)
答：（1）線框在上滑階段勻速進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的速度υ₂大小為

mgR

4B2L2

；
（2）線框在下滑階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度υ₁大小為

2 mgR

4B2L2

；
（3）線框在下滑階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱為

15m3g2R2(n2-1)

128B4L4

-

1

2

mg(L+D)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了電磁感應(yīng)與力學(xué)和能量的綜合，涉及到共點(diǎn)力平衡、能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、閉合電路歐姆定律等，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．