Question

如圖所示，某空間有一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E，一塊足夠大的接地金屬板水平放置在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，在金屬板的正上方高度h的a處有一微粒源，盒內(nèi)微粒以V₀的初速度向水平面以下的各個(gè)方向均勻放出質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電微粒，粒子最終落在金屬板b上．求：（要考慮微粒的重力，阻力不計(jì)）
（1）微粒源所在處a點(diǎn)的電勢(shì)？
（2）帶電微粒打在金屬板上時(shí)的動(dòng)能？
（3）從微粒源射出的粒子打在金屬板上的范圍（所形成的面積）？若使帶電微粒打在金屬板上的范圍增大，可以通過改變哪些物理量來實(shí)現(xiàn)？（至少答兩種）

Answer 1

分析：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向下，a點(diǎn)的電勢(shì)高于b點(diǎn)的電勢(shì)，由U=Ed公式求出a的電勢(shì)．
（2）微粒在運(yùn)動(dòng)過程中，重力和電場(chǎng)力都做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求出帶電微粒打在金屬板上時(shí)的動(dòng)能．
（3）粒子源射出的微粒打在金屬板上的范圍以微粒水平拋出為落點(diǎn)邊界，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法求出所圍成的區(qū)域的半徑，再求出其面積，根據(jù)此式分析增大面積的方法．

解答：解（1）題中勻強(qiáng)電場(chǎng)豎直向下，a點(diǎn)電勢(shì)高于b，而b板接地，因此 微粒源所在處a點(diǎn)的電勢(shì)為   φ_a=Eh．
（2）微粒在運(yùn)動(dòng)過程中，重力和電場(chǎng)力做功，對(duì)微粒由動(dòng)能定理得
   mgh+qEh=E_k-

1

2

m

v

2 0

解得，帶電粒子打在金屬板上時(shí)的動(dòng)能為E_k=mgh+qEh+

1

2

m

v

2 0

（3）粒子源射出的微粒打在金屬板上的范圍以微粒水平拋出為落點(diǎn)邊界，由類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得：
   x=v₀t  
   h=

1

2

at2            
又a=

mg+qE

m

微粒源射出的粒子打在金屬板上形成的圓形面積為S=πx²
聯(lián)立解得  S=

2πhm v 2 0

mg+qE

由上式可知，要增大S，可以通過增大h，或增大v₀，增大m或減小E減小q來實(shí)現(xiàn)．
答：（1）微粒源所在處a點(diǎn)的電勢(shì)為Eh．
（2）帶電微粒打在金屬板上時(shí)的動(dòng)能為mgh+qEh+

1

2

m

v

2 0

o
（3）從微粒源射出的粒子打在金屬板上的范圍為

2πhm v 2 0

mg+qE

．若使帶電微粒打在金屬板上的范圍增大，可以通過增大h，或增大v₀，增大m或減小E減小q來實(shí)現(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理和類平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用．對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)采用運(yùn)動(dòng)的分解方法進(jìn)行研究．