Question

4．某人在靜水中劃船速度v₁=3m/s，他在水速v₂=1.5m/s的河中勻速劃行，假設(shè)河寬為50m．
（1）若此船要以最短時(shí)間過(guò)河，船頭應(yīng)指向何方？最短時(shí)間t₁為多少？到達(dá)對(duì)岸時(shí)偏離正對(duì)岸的目標(biāo)有多遠(yuǎn)？
（2）若此船要以最小位移過(guò)河，船頭應(yīng)指向何方？過(guò)河時(shí)間t₂為多少？

Answer 1

分析 （1）小船參與兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，沿著船頭方向的分運(yùn)動(dòng)和隨著水流方向的分運(yùn)動(dòng)，當(dāng)船頭與河岸垂直時(shí)渡河時(shí)間最短；
（2）當(dāng)船實(shí)際的軌跡垂直于河岸時(shí)，位移最短，先根據(jù)平行四邊形定則求解出合速度，根據(jù)s=vt求解船渡河的時(shí)間．

解答 解：（1）欲使船渡河時(shí)間最短，船頭應(yīng)與河岸垂直，故最短時(shí)間為：
t=$\fraclnbl5nt{{v}_{1}}$=$\frac{50}{3}$s
到達(dá)對(duì)岸時(shí)偏離正對(duì)岸的目標(biāo)的距離：l=${v}_{1}t=1.5×\frac{50}{3}=25$m
（2）當(dāng)船實(shí)際的軌跡垂直于河岸時(shí)，位移最短，船頭的方向偏向上游；
設(shè)此時(shí)船頭與河岸之間的夾角為θ，則：v₂=v₁cosθ
代入數(shù)據(jù)得：θ=60°
船的合速度為：
v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-1．{5}^{2}}$=$1.5\sqrt{3}$m/s
渡河的時(shí)間：t′=$\fracf5jfvxp{v}=\frac{50}{1.5\sqrt{3}}=\frac{100\sqrt{3}}{9}$s
答：（1）他船頭應(yīng)與河岸垂直可以在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)對(duì)岸，最短時(shí)間是$\frac{50}{3}$s，到達(dá)對(duì)岸時(shí)偏離正對(duì)岸的目標(biāo)25m遠(yuǎn)．
（2）若要使船沿軌跡最短過(guò)河，應(yīng)船頭的方向偏向上游，與河岸之間的夾角是60°劃行，對(duì)應(yīng)的渡河時(shí)間是$\frac{100\sqrt{3}}{9}$s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于小船渡河問(wèn)題，關(guān)鍵是找到合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)，本題關(guān)鍵是知道當(dāng)船頭與河岸垂直時(shí)渡河時(shí)間最短，基礎(chǔ)題目．