Question

6．如圖所示，等重的兩小木塊由一根不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，放在傾角為α的斜面上．兩木塊與斜面的靜摩擦因數(shù)分別是μ₁，μ₂，已知μ₁＞μ₂，tanα=$\sqrt{{μ}_{1}•{μ}_{2}}$，求繩子與斜面上的最大傾斜線之間的夾角θ應(yīng)滿(mǎn)足什么限制，它們才能在斜面上保持靜止．

Answer 1

分析 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩木塊也分別處于平衡狀態(tài)．對(duì)兩木塊進(jìn)行受力分析，利用平衡條件解答．

解答 解：當(dāng)兩物體連線與最大傾斜線垂直時(shí)，系統(tǒng)處于平衡時(shí)，2物體不可能平衡，當(dāng)當(dāng)兩物體連線與最大傾斜線平行時(shí)兩物體一定靜止，這是因?yàn)椋害?SUB>1mgcosα+μ₂mgcosα=（μ₁+μ₂）mgcosα，又有tanα=$\sqrt{{μ}_{1}•{μ}_{2}}$，所以${μ}_{1}mgcosα{+μ}_{2}mgcosα≥2\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}mgcosα$=2mgsinα
（1）在斜面所在平面內(nèi)分析2物體，2物體所受重力沿斜面向下的重力的分力為mgsinα是定值，以O(shè)為圓心，以所受靜摩擦力為圓心作圖，遠(yuǎn)的半徑必定小于OC，要保證2 物體靜止，她所受摩擦力不可能大于最大靜摩擦力，當(dāng)達(dá)到最大靜摩擦力且與MN成角度θ₀最大，此時(shí)sinθ₀=$\frac{{μ}_{2}mgcosα}{mgsinα}$=${μ}_{2}cotα=\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$．在這種情況下，如果1物體所受的摩擦力小于其最大靜摩擦力，則線與最大傾斜線的最大夾角為θ₀，如果1物體所受的 摩擦力大于其最大靜摩擦力則線與最大傾斜線的夾角小于θ₀．此種情況下，1物體受力圖如下圖所示，線對(duì)1物體和對(duì)2物體的作用力大小相等，所以在做1物體所受的力時(shí)，可以在C下做與O對(duì)稱(chēng)的圓，AC與圓相交于B，BC可表示線對(duì)1物體的力，物體1與物體2沿著斜面的分力相等，所以在下圖中將物體2 的受力圖作在圖1 的左邊，與物體2的受力圖共用一邊，則線的彈力為：
${T}_{0}\sqrt{{（mgsinα）}^{2}{-μ}_{1}mgcosα}$=mgcosα$\sqrt{{{μ}_{2}μ}_{1}{-μ}_{2}^{2}}$
物體1所受的摩擦力為：f₁₀=$\sqrt{{T}_{0}^{2}{+（mgsinα）}^{2}+{2T}_{0}mgsinαco{s}_{θ0}}$
整理上式得：${f}_{10}^{2}{=（mgcosα）}^{2}（{{4μ}_{1}μ}_{2}-{3μ}_{2}^{2}）$
已知物體1所受的最大靜摩擦力為f_1m=μ₁mgcosα
當(dāng)f₁₀≤f_1m時(shí)，即μ₁≥3μ₂時(shí)，最大角$θ=arcsin\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$
當(dāng)f₁₀＞f_1m時(shí)，即μ₁＜3μ₂時(shí)，最大夾角另行求解．
（2）當(dāng)兩物體同時(shí)達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，（不可能出現(xiàn)1物體達(dá)到最大靜摩擦力而2物體沒(méi)有達(dá)到最大靜摩擦力的情況）這種情況與第一種情況相似，如下圖2 所示，在力三角形△ACO與△CBO中，可得，
${{（μ}_{2}mgcosα）}^{2}{=（mgsinα）}^{2}{+T}^{2}-$2mgsinαTcosθ₁
${{（μ}_{1}mgcosα）}^{2}{=（mgsinα）}^{2}{+T}^{2}$+2mgsinαTcosθ₁
兩式相加得，${T}^{2}=\frac{1}{2}{（μ}_{1}^{2}{+μ}_{2}^{2}{）（mgcosα）}^{2}$-（mgsinα）²，又有tan$α=\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}$
則T=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mgcosα（μ₁-μ₂）
兩式相減得，4mgsinαTcosθ=${{（μ}_{1}}^{2}{-μ}_{2}^{2}{）（mgcosα）}^{2}$，
將T帶入，結(jié)合tan$α=\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}$
所以，cosθ=$\frac{\sqrt{2}{（μ}_{1}{-μ}_{2}）}{4\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}}$
綜上所述，當(dāng)μ₁≥3μ₂時(shí)，最大夾角為θ=arcsin$\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$
當(dāng)μ₁＜3μ₂時(shí)，最大夾角為θ=arccos$\frac{\sqrt{2}{（μ}_{1}{-μ}_{2}）}{4\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}}$

點(diǎn)評(píng) 本題的思維過(guò)程復(fù)雜，數(shù)學(xué)運(yùn)算量大，屬于難題，建議一般學(xué)生不必追求能解，高考一般考不到．