Question

3．如圖為一水平傳送帶裝置的示意圖．傳送帶的左端與光滑曲面軌道平滑連接，右端與光滑圓軌道相切，MN是圓軌道的一條豎直直徑，將一質(zhì)量m=1kg的小物塊乙輕輕放在傳送帶上距B點(diǎn)2m處的P點(diǎn)，質(zhì)量也為m=1kg小物塊甲置于距B點(diǎn)高度為h₁=5m的光滑曲面上的A點(diǎn)，當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，讓甲由靜止下滑與靜止在傳送帶上小物塊乙發(fā)生彈性正碰，碰撞過(guò)程無(wú)能量損失，碰撞后乙恰好能到達(dá)光滑圓軌道上的最高點(diǎn)N，已知圓軌道半徑r=0.4m，兩小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）傳送帶的長(zhǎng)度；
（2）若將乙物體置于傳送帶的最左端B點(diǎn)，讓甲物體從光滑曲面上高度為h₂=0.2m處由靜止下滑，然后與乙在B點(diǎn)發(fā)生彈性正碰，碰撞后傳動(dòng)帶立即以某速度順時(shí)針運(yùn)動(dòng)起來(lái)，要使小物塊乙能滑上圓形軌道到達(dá)圓軌道右半側(cè)上的Q點(diǎn)，且小物塊在圓形軌道上不脫離軌道，若Q點(diǎn)距M點(diǎn)高度為0.2m，求傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度范圍．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出傳送帶的長(zhǎng)度．
（2）應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律與動(dòng)能定理、牛頓第二定律求出傳送帶的速度，然后確定其范圍．

解答 解：（1）甲、乙質(zhì)量相同，發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可知，
碰撞后兩者交換速度，因此整個(gè)過(guò)程可以等效為甲靜止下滑恰好到N點(diǎn)，
設(shè)傳送帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，由動(dòng)能定理得：mg（h-2r）-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_N²-0，代入數(shù)據(jù)解得：L=8m；
（2）設(shè)傳送帶的速度為v₀，由題意可知，碰撞前甲的速度：v_甲=$\sqrt{2g{h}_{2}}$=2m/s，
由題意可知，乙能過(guò)Q點(diǎn)，如果乙恰好能到Q，
由動(dòng)能定理得：mgh₂=$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v₁=2m/s，
如果乙恰能到與圓心等高的D點(diǎn)，物體經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的速度為v₂，
由動(dòng)能定理得：mgr=$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：v₂=2$\sqrt{2}$m/s，
如果物體恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，在N點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{r}$，v_N=$\sqrt{gr}$，
設(shè)在M點(diǎn)的速度為v_M，由動(dòng)能定理得：2mgr=$\frac{1}{2}$mv_M²-$\frac{1}{2}$mv_N²，解得：v_M=$\sqrt{10}$m/s；
碰撞后乙的速度v₂=2m/s，因此乙在傳送帶上只能做勻速運(yùn)動(dòng)或加速運(yùn)動(dòng)就能通過(guò)Q點(diǎn)且不脫離軌道，
因此傳送帶的速度滿足：2m/s≤v₀≤2$\sqrt{2}$m/s，或v₀≥$\sqrt{10}$m/s；
答：（1）傳送帶的長(zhǎng)度為8m；
（2）傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度范圍是：2m/s≤v₀≤2$\sqrt{2}$m/s，或v₀≥$\sqrt{10}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律可以解題，解題時(shí)要注意討論．