Question

如圖1所示，一端封閉的兩條平行光滑長導軌相距L，距左端L處的右側一段被彎成半徑為

L

2

的四分之一圓弧，圓弧導軌的左、右兩段處于高度相差

L

2

的水平面上．以弧形導軌的末端點O為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標軸．圓弧導軌所在區(qū)域無磁場；左段區(qū)域存在空間上均勻分布，但隨時間t均勻變化的磁場B（t），如圖2所示；右段區(qū)域存在磁感應強度大小不隨時間變化，只沿x方向均勻變化的磁場B（x），如圖3所示；磁場B（t）和B（x）的方向均豎直向上．在圓弧導軌最上端，放置一質量為m的金屬棒ab，與導軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時左段磁場B（t）開始變化，金屬棒與導軌始終接觸良好，經過時間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導軌底端．已知金屬棒在回路中的電阻為R，導軌電阻不計，重力加速度為g．
（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產生的感應電動勢E；
（2）如果根據(jù)已知條件，金屬棒能離開右段磁場B（x）區(qū)域，離開時的速度為v，求金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產生的焦耳熱Q；
（3）如果根據(jù)已知條件，金屬棒滑行到x=x₁位置時停下來，
a．求金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導體棒的電荷量q；
b．通過計算，確定金屬棒在全部運動過程中感應電流最大時的位置．

Answer 1

分析：（1）由圖看出，左段區(qū)域中磁感應強度隨時間線性變化，其變化率一定，由法拉第電磁感應定律得知，回路中磁通量的變化率相同，由法拉第電磁感應定律求出回路中感應電動勢．
（2）根據(jù)歐姆定律和焦耳定律結合求解金屬棒在弧形軌道上滑行過程中產生的焦耳熱．再根據(jù)能量守恒求出金屬棒在水平軌道上滑行的過程中產生的焦耳熱，即可得到總熱量．
（3）在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B₀的一瞬間，在很短的時間△t內，根據(jù)法拉第電磁感應定律和感應電流的表達式，求出感應電荷量q．再進行討論．

解答：解：（1）由圖2可知，

△B

△t

=

B0

t0

根據(jù)法拉第電磁感應定律，感應電動勢E=

△Φ

△t

=L2

△B

△t

=L2

B0

t0

①
（2）金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，產生的焦耳熱Q1=

U2

R

t=

L4 B 2 0

Rt0

金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)機械能守恒定律mg

L

2

=

1

2

m

v

2 0

②
金屬棒在水平軌道上滑行的過程中，產生的焦耳熱為Q₂，
根據(jù)能量守恒定律Q2=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=mg

L

2

-

1

2

mv2
所以，金屬棒在全部運動過程中產生的焦耳熱Q=Q1+Q2=

L4 B 2 0

Rt0

+mg

L

2

-

1

2

mv2
（3）a．根據(jù)圖3，x=x₁（x₁＜x₀）處磁場的磁感應強度B1=

B0(x0-x1)

x0

．
設金屬棒在水平軌道上滑行時間為△t．由于磁場B（x）沿x方向均勻變化，根據(jù)法拉第電磁感應定律△t時間內的平均感應電動勢

.

E

=

△Φ

△t

=

Lx1 B0+B1 2

△t

=

B0Lx1(2x0-x1)

2x0△t

所以，通過金屬棒電荷量q=

.

I

△t=

. E

R

△t=

B0Lx1(2x0-x1)

2x0R

b．金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)①式，I1=

E

R

=

L2B0

Rt0

金屬棒在水平軌道上滑行過程中，由于滑行速度和磁場的磁感應強度都在減小，所以，此過程中，金屬棒剛進入磁場時，感應電流最大．
根據(jù)②式，剛進入水平軌道時，金屬棒的速度v0=

gL

所以，水平軌道上滑行過程中的最大電流I2=

E′

R

=

B0L gL

R

若金屬棒自由下落高度

L

2

，經歷時間t=

L g

，顯然t₀＞t
所以，I1=

L2B0

Rt0

＜

L2B0

Rt

=

L2B0

R L g

=I2
綜上所述，金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應電流最大．
答：
（1）金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產生的感應電動勢E是L2

B0

t0

；
（2）金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產生的焦耳熱Q為

L4 B 2 0

Rt0

+mg

L

2

-

1

2

mv2；
（3）a．金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導體棒的電荷量q為

B0Lx1(2x0-x1)

2x0R

；
b．金屬棒在全部運動過程中金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應電流最大．

點評：本題中（1）（2）問，磁通量均勻變化，回路中產生的感應電動勢和感應電流均恒定，由法拉第電磁感應定律研究感應電動勢是關鍵．對于感應電荷量，要能熟練地應用法拉第定律和歐姆定律進行推導．