Question

11．如圖，質量為M=2.0kg的小車靜止在光滑水平面上，小車AB部分是半徑為R=0.4m的四分之一圓弧光滑軌道，BC部分是長為L=0.2m的水平粗糙軌道，動摩擦因數為μ=0.5，兩段軌道相切于B點．C點離地面高為h=0.2m，質量為m=1.0kg的小球（視為質點）在小車上A點從靜止沿軌道下滑，重力加速度取g=10m/s²．
（1）若小車固定，求小球運動到B點時受到的支持力大小F_N；
（2）若小車不固定，小球仍從A點由靜止下滑；
（i）求小球運到B點時小車的速度大小v₂；
（ii）小球能否從C點滑出小車？若不能，請說明理由；若能，求小球落地與小車之間的水平距離s．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程只有重力做功，由動能定理可以求出小球到達B點的速度，在B點應用牛頓第二定律可以求出支持力．
（2）（i）小球與小車在水平方向系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出小車的速度．
（ii）應用機械能守恒定律求出速度，然后應用牛頓第二定律與運動學公式可以求出距離．

解答 解：（1）小球從A運動到B過程，根據動能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
在B點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：F_N=30N；
（2）（i）若不固定小車，滑塊到達B點時，小車的速度最大為v_max，
小球與小車組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：mv₂-Mv_max=0，解得：$\frac{{v}_{2}}{{v}_{max}}$=$\frac{M}{m}$=$\frac{2}{1}$，v₂=2v_max，
由機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$Mv_max²，解得：v_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m/s，v₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m/s；
（ii）假設小球能從C點滑出，設小球滑到C處時小車的速度為v，則小球的速度為2v，
設小球距離為s；
根據能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$m•（2v）²+$\frac{1}{2}$Mv²+μmgL，
解得：小車的速度v=-1m/s，小球的速度為2m/s；
若假設成立，小球滑出小車后做平拋運動，
則有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得：t=0.2s；
小球的水平位移為x₁=2×0.2=0.4m
小車的水平位移為x₂=1×0.2=0.2m
那么小球落地與小車之間的水平距離s=0.4+0.2=0.6m
答：（1）若小車固定，求小球運動到B點時受到的支持力大小F_N為30N．
（2）（i）求小球運到B點時小車的速度大小v₂為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m/s；
（ii）小球能從C點滑出小車；小球落地與小車之間的水平距離s為0.6m．

點評 本題考查了求支持力、速度與距離問題，考查了動量守恒定律的應用，分析清楚物體運動過程是解題的前提與關鍵；該題的第一問考查機械能守恒與向心力，比較簡單；第二問主要考查系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據平均速度研究．也可以根據題目提供的特殊的條件：在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，不使用動量守恒定律．