Question

20．一同學(xué)要研究輕質(zhì)彈簧的彈性勢能與彈簧長度改變量的關(guān)系．實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，在離地面高為h的光滑水平桌面上，沿著與桌子右邊緣垂直的方向放置一輕質(zhì)彈簧，其左端固定，右端與質(zhì)量為m的小剛球接觸．將小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，使小球沿水平方向射出桌面，小球在空中飛行落到位于水平地面的記錄紙上留下痕跡．重力加速度為g．

（1）若測得某次壓縮彈簧釋放后小球落點(diǎn)P痕跡到O點(diǎn)的距離為s，則釋放小球前彈簧的彈性勢能表達(dá)式為${E_P}=\frac{{mg{s^2}}}{4h}$；（用m、g、s、h等四個(gè)字母表示）
（2）該同學(xué)改變彈簧的壓縮量進(jìn)行多次測量得到下表一組數(shù)據(jù)：

彈簧壓縮量x/cm	1.00	1.50[	2.00	2.50	3.00	3.50
小球飛行水平距離s/cm	20.10	30.00	40.10	49.90		69.90

根據(jù)表中已有數(shù)據(jù)，表中缺失的數(shù)據(jù)可能是s=60.00cm；
（3）完成實(shí)驗(yàn)后，該同學(xué)對上述裝置進(jìn)行了如下圖乙所示的改變：
（Ⅰ）在木板表面先后釘上白紙和復(fù)寫紙，并將木板豎直立于靠近桌子右邊緣處，使小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，撞到木板并在白紙上留下痕跡O；
（Ⅱ）將木板向右平移適當(dāng)?shù)木嚯x固定，再使小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，撞到木板上得到痕跡P；
（Ⅲ）用刻度尺測量紙上O點(diǎn)到P點(diǎn)的豎直距離為y．若已知木板與桌子右邊緣的水平距離為L，則（II）步驟中彈簧的壓縮量應(yīng)該為$x=\frac{L}{20}\sqrt{\frac{h}{y}}$．（用L、h、y等三個(gè)字母表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，根據(jù)能量守恒求出釋放小球前彈簧的彈性勢能．
（2）由表中數(shù)據(jù)可看出，在誤差范圍內(nèi)，s正比于x，從而得出表格中缺少的數(shù)據(jù)．
（3）先從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出彈簧的壓縮量與小球的射程的關(guān)系，再結(jié)合第一小問中結(jié)論得到彈性勢能與小球的射程的關(guān)系，最后綜合出彈簧的彈性勢能E_P與彈簧長度的壓縮量x之間的關(guān)系．

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有 s=vt，$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，得$v=s\sqrt{\frac{g}{2h}}$
由機(jī)械能守恒定律得${E_P}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{{mg{s^2}}}{4h}$
釋放小球前彈簧得彈性勢能表達(dá)式為${E_P}=\frac{{mg{s^2}}}{4h}$
（2）由表中數(shù)據(jù)可看出，在誤差范圍內(nèi)，s正比于x，s=20x，則當(dāng)彈簧壓縮量x=3.00cm時(shí)，s=60.00cm
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有L=vt，y=$\frac{1}{2}$gt²，
得$v=L\sqrt{\frac{g}{2y}}$
根據(jù)${E_P}=\frac{{mg{s^2}}}{4h}$，所以彈簧彈性勢能與彈簧壓縮量x之間得關(guān)系式應(yīng)為${E_P}=\frac{{100mg{x^2}}}{h}$
根據(jù)能量守恒，則有$\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{{100mg{x^2}}}{h}$
聯(lián)立上式，解得彈簧得壓縮量應(yīng)該為$x=\frac{L}{20}\sqrt{\frac{h}{y}}$．
故答案為：（1）${E_p}=\frac{{mg{s^2}}}{4h}$（2）60.00，（3）$x=\frac{L}{20}\sqrt{\frac{h}{y}}$

點(diǎn)評 本題通過平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，研究輕質(zhì)彈簧的彈性勢能與彈簧長度改變量的關(guān)系，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出速度是解決本題的關(guān)鍵．