Question

如圖甲所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的左側(cè)有一電子槍，電子槍的陰極在單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的電子數(shù)相同，電子槍的兩極間加圖乙所示的加速電壓，電子從電子槍射出后沿bc方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，已知電子的荷質(zhì)比（比荷）為，電子運(yùn)動(dòng)中不受任何阻力，電子在電子槍中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間忽略不計(jì)。求：

（1）進(jìn)入磁場(chǎng)的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t1與最短時(shí)間t2的比值；

（2）若在0~T0時(shí)間內(nèi)射入磁場(chǎng)的電子數(shù)為N0，則這些電子中有多少個(gè)電子從dc邊射出了磁場(chǎng)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【命題立意】本題旨在考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)、帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。

【解析】（1）由題意分析可知，在t=T0、2T0、3T0……時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，設(shè)此時(shí)的加速電壓為U，此時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)的電子的速度為v，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期為T，則由乙圖可知：                            （1）

由動(dòng)能定理得：                     （2）

由洛倫茲力充當(dāng)向心力得：           （3）

由（1）（2）（3）解得 R=2L                     （4）

由于R=2L，所以電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由圖可知：

                                 （5）

即：                                    （6）

電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間   （7）

又由題意分析可知，進(jìn)入磁場(chǎng)的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：

                                      （8）

由（7）（8）解得:                         （9）

（2）設(shè)t0時(shí)刻的電子經(jīng)加速電壓U0加速后以速率v0射入磁場(chǎng)，電子恰好經(jīng)過d點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則由甲圖可知電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：      （10）

由洛倫茲力充當(dāng)向心力得：           （11）

由動(dòng)能定理得：                     （12）

所以可得：

又由于：    （13）

由乙圖可知：                      （14）

設(shè)時(shí)間內(nèi)有N個(gè)電子從dc邊射出磁場(chǎng)，由題意可得：

                                 （15）

所以解得：                          （16）

答：（1）進(jìn)入磁場(chǎng)的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間與最短時(shí)間的比值為；

（2）若在時(shí)間內(nèi)射入磁場(chǎng)的電子數(shù)為，則這些電子中有個(gè)電子從dc邊射出了磁場(chǎng)。