Question

有一空間范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向未知，其電場(chǎng)線與坐標(biāo)xOy平面平行。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，作半徑為R的圓交坐標(biāo)軸于A、B、C、D四點(diǎn)，如圖所示。圓周上任意一點(diǎn)P的電勢(shì)的表達(dá)式為φ = kRsin2θ + b，式中θ為弦AP與x軸的夾角，k、b均為已知常量，且有k > 0和b > 0。在A點(diǎn)有放射源，能不斷的沿x軸方向釋放出質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，粒子的初速度大小介于v₀~2v₀之間，不計(jì)粒子的重力。

（1）求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小、方向。

（2）若已知速度大小為v₀的粒子恰好從圖中C點(diǎn)射出該圓，則所有粒子將從圓周上哪一范圍射出？（不一定要求解出具體數(shù)據(jù)，可用關(guān)系式表達(dá)結(jié)果）

（3）現(xiàn)在該區(qū)域加一空間范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面，使速度大小為v₀的粒子恰好從圖中B點(diǎn)射出該圓，則所有粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程偏離 x 軸的最大距離為多大？

 

Answer 1

【解析】  （1）根據(jù)題設(shè)條件φ = kRsin2θ + b 得，

當(dāng)θ取0°時(shí)，即得B點(diǎn)的電勢(shì)為φ_B =b；   （1分）

當(dāng)θ=90°時(shí)，即得A點(diǎn)的電勢(shì)為φ_A = b；   （1分）

當(dāng)θ=45°時(shí)，即得D點(diǎn)的電勢(shì)為φ_D = kR + b；   （1分）

即得AB是兩等勢(shì)點(diǎn)，x軸是一等勢(shì)線，電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿y軸正方向，場(chǎng)強(qiáng)大小為

E =  =  = k。   （3分）

（2）設(shè)粒子在圓周上射出點(diǎn)Q和圓心O的連線跟x軸的夾角為α，根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)規(guī)律，初速度為2v₀的粒子α最大。

已知速度大小為v₀的粒子恰好從圖中C點(diǎn)射出該圓，則有

R= v₀t₁，R =at₁²  及a = = ，   （3分）

粒子初速度為2v₀時(shí)有 

R + Rcosα = 2v₀t₂，Rsinα =at₂²，   （2分）

聯(lián)立以上各式可得：  4sinα = (1+cosα)²。

所以射出范圍的邊界點(diǎn)Q和圓心O的連線跟x軸的夾角α滿足關(guān)系：4sinα = (1+cosα)²。   （3分）

（3）加勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，速度大小為v₀的粒子恰好從圖中B點(diǎn)射出，則有 

Bq v₀ = Eq = kq，   （2分）

初速度大小為2v₀的粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程將偏離 x 軸的距離最大，設(shè)其為y_m。

將初速度2v₀分解為兩個(gè)同向等大的分速度v₀，因?yàn)橛?i>Bq v₀ = Eq = kq，則該粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可視為以下二個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：一是，以速度v₀沿 x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，二是，以速度v₀在坐標(biāo)xOy平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則有：

y_m = 2r，   （2分）

Bq v₀ = ，   （2分）

聯(lián)立得：  偏離 x 軸的最大距離為  y_m = 。   （2分）