Question

12．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱(chēng)軸OO′重合，轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線(xiàn)與OO′之間的夾角θ為45°．已知重力加速度大小為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為f=$\frac{\sqrt{2}}{4}$mg．
（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時(shí)的角速度ω₀；
（2）若小物塊一直相對(duì)陶罐靜止，求陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的范圍．

Answer 1

分析 （1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，求得角速度的大小
（2）當(dāng)ω＞ω₀時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線(xiàn)向下達(dá)最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最大角速度，當(dāng)ω＜ω₀時(shí)，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線(xiàn)向上，當(dāng)角速度最小時(shí)，摩擦力向上達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最小值

解答 解：（1）當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，
有：$mgtan45°=mRsin45{°ω}_{0}^{2}$
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）當(dāng)ω＞ω₀時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線(xiàn)向下達(dá)最大值，設(shè)此最大角速度為ω₁，受力如圖：
由牛頓第二定律得，
${F}_{f}cos45°+{F}_{N}cos45°=mRsin45{°ω}_{1}^{2}$
F_fsin45°+mg=F_Nsin45°
聯(lián)立以上三式解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
當(dāng)ω＜ω₀時(shí)，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線(xiàn)向上，當(dāng)角速度最小時(shí)，摩擦力向上達(dá)到最大值，設(shè)此最小角速度為ω₂
由牛頓第二定律得，${F}_{N}cos45°-{F}_{f}cos45°=mRsin45{°ω}_{2}^{2}$
F_fsin45°+F_Nsin45°=mg
聯(lián)立三式解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}$      
所以   $\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
答：（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，此時(shí)的角速度ω₀為$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）若小物塊一直相對(duì)陶罐靜止，陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的范圍為  $\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解，難度適中