Question

10．一長(zhǎng)木板在水平地面上運(yùn)動(dòng)，從木板經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，在t=1.0s時(shí)將一相對(duì)于地面靜止的小物塊輕放到木板上，此后木板運(yùn)動(dòng)的v-t圖線(xiàn)如圖所示．己知木板質(zhì)量為物塊質(zhì)量的2倍，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且物塊始終在木板上，取重力加速度的大小g=10m/s²，求：
（1）物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁及木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂；
（2）木板離A點(diǎn)的最終距離；
（3）木板的最小長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）從t₁=1.0s開(kāi)始，木板與物塊之間的摩擦力使物塊加速，使木板減速，此過(guò)程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止．根據(jù)v-t圖象的斜率等于加速度，求出兩個(gè)過(guò)程的加速度，再對(duì)兩個(gè)物體分別運(yùn)用牛頓第二定律列式，可求得動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）分別分析物塊的運(yùn)動(dòng)情況，分段求兩者相對(duì)于地面的位移，根據(jù)兩者之差可求得木板離A點(diǎn)的最終距離．
（3）在v-t圖象上，畫(huà)出物塊的速度時(shí)間圖象，由圖分析物塊相對(duì)木板距離的變化情況，木板的最小長(zhǎng)度應(yīng)等于物塊相對(duì)于木板的最大位移的大小．根據(jù)v-t圖象的“面積”大小等于位移求解．

解答 解：
（1）從t₁=1.0s開(kāi)始，木板與物塊之間的摩擦力使物塊加速，使木板減速，此過(guò)程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止．
由圖可知，在t₂=1.5 s時(shí)，物塊和木板具有共同速度v₂=1.0m/s．設(shè)t₁到t₂時(shí)間間隔內(nèi)，物塊和木板的加速度大小分別為a₁和a₂，則
  a₁=$\frac{{v}_{2}-0}{{t}_{2}-{t}_{1}}$=$\frac{1}{0.5}$=2m/s²     ①
  a₂=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$=$\frac{4.5-1.0}{1.5-1.0}$=7m/s²         ②
式中v₁=4.5 m/s，為木板在t₁=1.0s時(shí)速度的大�。�
設(shè)物塊和木板的質(zhì)量分別為m、2m，由牛頓第二定律得
  μ₁mg=ma₁ ③
  μ₁mg+μ₂（3mg）=（2m）a₂ ④
聯(lián)立①②③④式得：μ₁=0.20，μ₂=0.40
（2）設(shè)t=0到t₁時(shí)間間隔內(nèi)，木板的加速度為a₀，由牛頓第二定律得
   μ₂（2m）g=（2m）a₀        ⑤
得 a₀=4m/s²      
    逆過(guò)來(lái)看，將木板勻減速過(guò)程看作反向勻加速過(guò)程，則t=0到t₁時(shí)間間隔內(nèi)木板的位移：
 s₀=v₁t₁+$\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{1}^{2}$      ⑥
代入數(shù)據(jù)解得 s₀=6.5m
t₁到t₂時(shí)間間隔內(nèi)，木板相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離為
   s₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）$   ⑦
代入數(shù)據(jù)解得 s₁=1.375m
在t₂時(shí)刻后，地面對(duì)木板的摩擦力阻礙木板運(yùn)動(dòng)，物塊與木板之間的摩擦力改變方向．設(shè)物塊與木板之間的摩擦力大小為f，物塊和木板的加速度大小分別為a₁′和a₂′，則由牛頓第二定律得
  f=ma₁′⑧
  μ₂（3mg）-f=（2m）a₂′⑨
  假設(shè)f＜μ₁mg，則a₁′=a₂′；
由⑧⑨式得 f=μ₂mg＞μ₁mg，與假設(shè)矛盾．故
   f=μ₁mg                    ⑩
由⑨⑩式得，a₁′=a₁=2m/s²，a₂′=5m/s²
在t₂時(shí)刻后，木板相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離為
  s₂=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}′}$⑪
代入數(shù)據(jù)解得 s₂=0.1m
綜上，木板離A點(diǎn)的最終距離
   S=s₀+s₁+s₂ ⑫
解得：S=7.975m
（3）由（2）分析，物塊的v-t圖象如圖中點(diǎn)劃線(xiàn)所示．由圖可知，t₁到t₂時(shí)間間隔內(nèi)，物塊相對(duì)于木板的位移逐漸增大，而t₂時(shí)刻后，物塊相對(duì)于木板的位移又逐漸減小．
t₁到t₂時(shí)間間隔內(nèi)，物塊相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離為

  s₁′=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}$⑬
代入數(shù)據(jù)解得 s₁′=0.25m
木板的最小長(zhǎng)度應(yīng)等于物塊相對(duì)于木板的最大位移的大小，為：
  Lmin=s₁-s₁′⑭
解得L_min=1.125 m   
答：
（1）物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁及木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂分別為0.20和0.40．
（2）木板離A點(diǎn)的最終距離是7.975m；
（3）木板的最小長(zhǎng)度是1.125 m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物塊和木板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，知道圖線(xiàn)的斜率表示加速度，圖線(xiàn)與時(shí)間軸圍成的面積表示位移．