Question

如圖，兩個共軸的圓筒形金屬電極，在內(nèi)筒上均勻分布著平行于軸線的標號1-8的八個狹縫，內(nèi)筒內(nèi)半徑為R，在內(nèi)筒之內(nèi)有平行于軸線向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．在兩極間加恒定電壓，使筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向里的電場．不計粒子重力，整個裝置在真空中，粒子碰到電極時會被電極吸收．
（1）一質(zhì)量為m₁，帶電量為+q₁的粒子從緊靠外筒且正對1號縫的S點由靜止出發(fā)，進入磁場后到達的第一個狹縫是3號縫，求兩電極間加的電壓U是多少？
（2）另一個粒子質(zhì)量為m₂，帶電量為+q₂，也從S點由靜止出發(fā)，該粒子經(jīng)過一段時間后恰好又回到S點，求該粒子在磁場中運動多少時間第一次回到S點．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子從S點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動．粒子從1號縫直接到3號縫，軌跡為

1

4

圓周，軌跡半徑等于內(nèi)筒半徑，由牛頓第二定律列式求出速度，由根據(jù)動能定理求出加速電壓．
（2）粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫，只要穿過了狹縫，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，再重新進入磁場區(qū)，再回到S點．畫出粒子可能的運動軌跡，共有三種可能情況：第一種：粒子依次經(jīng)過2、3、4、5、6、7、8號縫回到1號縫；第二種：粒子依次經(jīng)3、5、7號縫回到1號縫；第三種：粒子依次經(jīng)過4、7、2、5、8、3、6號縫回到1號縫．確定出軌跡的圓心角，求出總時間．

解答：解：（1）m₁粒子從S點出發(fā)在電場力作用下加速沿徑向由1號縫以速度V₁進入磁場，
依動能定理  q1U=

1

2

mV12  ①
在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力公式和牛頓定律得  qV1B=m

V12

r1

  ②
粒子從1號縫直接到3號縫，軌跡為1/4圓周，軌跡半徑等于內(nèi)筒半徑r₁=R  ③
由以上得  U=

q1R2B2

2m1

  ④
（2）m₂粒子進入磁場后，做勻速圓周運動周期為T  qv2B=m2

v22

r2

  ⑤
周期為 T=

2πr2

v2

  ⑥
得   T=

2πm2

q2B

  ⑦
m₂粒子能回到S點的條件是能沿徑向進入某條縫，在電場中先減速再反向加速重回磁場，然后以同樣的方式經(jīng)過某些縫最后經(jīng)1號縫回到S點．共有三種可能情況
第一種：粒子依次經(jīng)過2、3、4、5、6、7、8號縫回到1號縫．
       
t=8×

135

360

×T=3T=

6πm2

q2B

  ⑧
第二種：粒子依次經(jīng)3、5、7號縫回到1號縫  t=4×

1

4

T=T=

2πm2

q2B

  ⑨
 
第三種：粒子依次經(jīng)過4、7、2、5、8、3、6號縫回到1號縫  t=8×

1

8

T=T=

2πm2

q2B

  ⑩

答：（1）兩電極間加的電壓U是

q1R2B2

2m1

．
（2）另一個粒子質(zhì)量為m₂，帶電量為+q₂，也從S點由靜止出發(fā)，該粒子經(jīng)過一段時間后恰好又回到S點，該粒子在磁場中第一次回到S點的運動時間可能為：

6πm2

q2B

或

2πm2

q2B

．

點評：本題看似較為復(fù)雜，實則簡單； 帶電粒子在磁場運動解決的關(guān)鍵在于要先明確粒子可能的運動軌跡，只要能確定圓心和半徑即可由牛頓第二定律及向心力公式求得結(jié)果．