Question

如圖所示的軌道由半徑為R的1/4光滑圓弧軌道AB、豎直臺階BC、足夠長的光滑水平直軌道CD組成。小車的質(zhì)量為M，緊靠臺階BC且上表面水平與B點(diǎn)等高。一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊自圓弧頂端A點(diǎn)由靜止下滑，滑過圓弧的最低點(diǎn)B之后滑到小車上。已知M＝4m，小車的上表面的右側(cè)固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點(diǎn)，小車的上表面左端點(diǎn)P與Q點(diǎn)之間是粗糙的，滑塊與PQ之間表面的動摩擦因數(shù)為μ，Q點(diǎn)右側(cè)表面是光滑的。求：

(1)滑塊滑到B點(diǎn)的瞬間對圓弧軌道的壓力大小。

(2)要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有滑離小車，則小車上PQ之間的距離L應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(滑塊與彈簧的相互作用始終在彈簧的彈性范圍內(nèi))

Answer 1

 (1)設(shè)滑塊滑到B點(diǎn)的速度大小為v，到B點(diǎn)時(shí)軌道對滑塊的支持力為N，由機(jī)械能守恒定律有：  mgR＝mv2①

滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：  N－mg＝m②

聯(lián)立①②式解得：N＝3mg③

根據(jù)牛頓第三定律，滑塊在B點(diǎn)對軌道的壓力大小為  N′＝3mg.

(2)滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度設(shè)為u，滑塊與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，有  mv＝(M＋m)u④

若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊可能不與彈簧接觸就已經(jīng)與小車相對靜止，設(shè)滑塊恰好滑到Q點(diǎn)，由功能關(guān)系得  μmgL＝mv2－(M＋m)u2⑤

聯(lián)立①④⑤式解得：L＝⑥

若小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點(diǎn)右側(cè)是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設(shè)滑塊恰好回到小車的左端P點(diǎn)處，由功能關(guān)系得

2μmgL＝mv2－(M＋m)u2⑦

聯(lián)立①④⑦式解得：L＝⑧

綜上所述并由⑥⑧式可知，要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有離開小車，PQ之間的距離L應(yīng)滿足的范圍是：≤L≤.

(1)3mg  (2) ≤L≤