Question

（2013?懷化二模）如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面y軸左側(cè)（含y軸）有一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從x軸上P處以速度ν₀沿x軸正向進(jìn)入電場(chǎng)，從y軸上Q點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)速度變?yōu)?ν₀，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-d），在y軸右側(cè)有一與坐標(biāo)平面垂直的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫出，粒子過Q點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后才進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域），磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=

mv0

qd

，粒子能從坐標(biāo)為（0，d）的M點(diǎn)沿x軸負(fù)向再進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)向的夾角θ和電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）繪出粒子P-M運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)至M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）求矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）由粒子進(jìn)入磁場(chǎng)速度為2v₀，由幾何關(guān)系可得角度關(guān)系．帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，受重力和電場(chǎng)力，由動(dòng)能定理可得電場(chǎng)強(qiáng)度
（2）進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，由左手定則可以判定受力，進(jìn)而確定其轉(zhuǎn)動(dòng)方向，作圖可得運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可得圓心角，進(jìn)而得到圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，DM段粒子做勻速運(yùn)動(dòng)可得此段的時(shí)間，相加得總時(shí)間．
（3）由運(yùn)動(dòng)軌跡圖，可以找出磁場(chǎng)邊長(zhǎng)的最小值，可得最小面積．

解答：（1）設(shè)粒子從Q點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)速度大小為v，
由粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，故其水平速度不變，由幾何關(guān)系得：sinθ=

v0

2v0

=

1

2

，解得：θ=30°
由動(dòng)能定理得：qEd=

1

2

mν2-

1

2

m

ν

2 0

解得：E=

3m v 2 0

2qd

（2）設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入、D點(diǎn)離開矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域．
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，圓心為O₁，如圖所示．

由洛倫茲力提供向心力，得：qvB=

mv2

r

解得 r=

mv

qB

=2d
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，D到M時(shí)間為t₂
由圖中的幾何關(guān)系可得圓周運(yùn)動(dòng)的圓心就為：

4π

3

圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πr

2v0

=

πr

v0

故圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t1=

4πr

3v

=

4πd

3ν0

DM段為勻速運(yùn)動(dòng)故時(shí)間為：t2=

DM

2ν0

=

2 3 d

3ν0

粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到M的總時(shí)間：t=t1+t2=

(4π+2 3) d

3v0

（3）若矩形磁場(chǎng)區(qū)域的面積最小，則如圖虛線區(qū)域：
可得長(zhǎng)邊：L₁=2r=4d                       
短邊：L₂=r+rsinθ=3d               
磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積：S=L1L2=12d2
答：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)向的夾角θ=30°，電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小E=

3m v 2 0

2qd

；
（2）繪出粒子P-M運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)至M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

(4π+2 3) d

3v0

；
（3）求矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S=12d²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的幾何能力要求較高，關(guān)鍵畫出粒子的軌跡圖，結(jié)合牛頓第二定律以及向心力等知識(shí)進(jìn)行求解．