Question

8．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，通常可忽略其他恒星對它們的引力作用，三顆星的質量也相等．已觀測到穩(wěn)定的三星系統有兩種：一是三顆星位于同一條直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的軌跡上運行；二是三顆星位于邊長為l的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的同軌道運行．設每顆星的質量均為m，引力常數為G；直線三星系統和三角形三星系統中星體作圓周運動的向心加速度分別為a₁和a₂、周期分別為T₁和T₁，則下列關系正確的是（　�。�

• A． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}{L}^{2}}{12{R}^{2}}$
• B． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}{L}^{2}}{3{R}^{2}}$
• C． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{3{R}^{2}}{{L}^{4}}}$
• D． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{12{R}^{2}}{5{L}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，抓住衛(wèi)星所受萬有引力的合力提供向心力，求出向心加速度和周期的表達式，從而求出比值的大�。�

解答 解：對于三顆星在同一條直線上的模型，根據萬有引力提供向心力有：$G\frac{{m}^{2}}{4{R}^{2}}+G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}=m{a}_{1}=mR\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得${a}_{1}=\frac{5Gm}{4{R}^{2}}$，${T}_{1}=\sqrt{\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{5Gm}}$，
對于三角形三星系統，$2G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}cos30°=m{a}_{2}=m\frac{L}{2cos30°}•\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$，
解得a₂=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{L}^{2}}$，T₂=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{3Gm}}$，
則$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{5\sqrt{3}{L}^{2}}{12{R}^{2}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{12{R}^{3}}{5{L}^{3}}}$．故A正確，B、C、D錯誤．
故選：A．

點評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．