Question

5．專家稱嫦娥四號探月衛(wèi)星為“四號星”，計劃在2017年發(fā)射升空，它的主要任務是更深層次、更全面地科學探測月球地貌等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，嫦娥四號開始探測時與月球中心的距離為r，根據(jù)以上信息求
（1）引力常量G=？
（2）嫦娥四號的運行速度V=？

Answer 1

分析 月球表面的重力與萬有引力相等，繞月球圓周運動的向心力由萬有引力提供，據(jù)此列式計算．

解答 解：（1）設月球的半徑為R，由重力等于萬有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg
其中月球質量：M=$\frac{4}{3}$πR³ρ
聯(lián)立解得：g=$\frac{4}{3}$πRGρ  
可解得萬有引力常量G=$\frac{3g}{4πρR}$
（2）由萬有引力提供向心力，得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
聯(lián)立可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$
答：（1）引力常量G=$\frac{3g}{4πρR}$
（2）嫦娥四號的運行速度V=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$

點評 月球表面的重力與萬有引力相等，衛(wèi)星繞月球做圓周運動萬有引力提供圓周運動的向心力，這個是萬有引力問題經(jīng)常用的表達式．