Question

如圖所示，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個(gè)小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸．AO、BO的長(zhǎng)分別為2L和L．開(kāi)始時(shí)直角尺的AO部分處于水平位置而B(niǎo)在O的正下方．讓該系統(tǒng)由靜止開(kāi)始自由轉(zhuǎn)動(dòng)，（sin37°=0.6），不計(jì)直角尺的質(zhì)量，求：
（1）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，需要對(duì)該系統(tǒng)做功．則至少要對(duì)該系統(tǒng)做多少功？

Answer 1

分析：（1）A、B兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式可以求得A、B速度之間的關(guān)系，同時(shí)由于AB是同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的，它們的角速度的大小相同，由v=ωr得到兩球速度大小關(guān)系．聯(lián)立即可求解v．
（2）B球到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解最大高度h．
（3）轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的總重力勢(shì)能最大時(shí)，總動(dòng)能最小．要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)動(dòng)能最小處．根據(jù)功能關(guān)系進(jìn)行分析求解．

解答：解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，由于轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．
（1）過(guò)程中A、B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度始終相同，由v=ωr得，v_A=2v_B
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得△E_PA=△E_KA+△E_KB+△E_PB
即：2mg?2L=3mg?L+

1

2

?2m?v2+

1

2

?3m?

v

2 B

解得   v=

8gL 11

（2）B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，設(shè)該位置位于OA桿豎直位置向左偏了α角．如圖所示（2）．則有
2mg?2Lcosα=3mg?L（1+sinα）       
此式可化簡(jiǎn)為   4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°    
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的重力勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最�。�要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)動(dòng)能最小處．如圖（3）所示．
取OA桿的初始位置為零勢(shì)能參考點(diǎn)，則如圖（3）所示處系統(tǒng)的重力勢(shì)能威者E_P=2mg?2Lcosθ+3mg?Lsinθ
此式可化簡(jiǎn)為E_P=mgL（4cosθ+3sinθ）≤5mgL
系統(tǒng)的重力勢(shì)能最大值E_P=5mgL
系統(tǒng)位于初始位置的重力勢(shì)能E_P0=-3mg?L
由功能觀點(diǎn)有：W=△E_P增
則得W=E_P-E_P0=8mgL
至少要對(duì)該系統(tǒng)做功W=8mgL
答：
（1）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v是

8gL 11

；
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）要使直角尺能繞轉(zhuǎn)軸O順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，需要對(duì)該系統(tǒng)做功．則至少要對(duì)該系統(tǒng)做8mgL的功．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問(wèn)題，要抓住兩球的角速度相等，分析線速度關(guān)系，難度較大．