Question

（2011?宜興市模擬）如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長為l的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球．已知O點到斜面底邊的距離s_OC=L． 
（1）試證明小球只要能在光滑斜面上做完整的圓周運動，則在最高點A和最低點B時細線上拉力之差為恒量．
（2）若小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，小球運動到A點或B點時細線斷裂，若兩種情況下小球滑落到斜面底邊時到C點的距離相等，則l和L應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）小球從最高點運動到最低點機械能守恒，列出等式表示出小球在A、B兩點時的速度分別為v_A、v_B
的關(guān)系．在A、B兩點對小球進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求解．
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，則小球通過A點時細線的拉力為零．根據(jù)圓周運動規(guī)律和牛頓第二定律求出A點速度．小球從A點運動到B點，根據(jù)機械能守恒定律列出等式求出B點速度．小球運動到A點火B(yǎng)點時細線斷裂，小球在平行于底邊的方向上勻速運動，在垂直于底邊的方向上做初速為零的勻加速運動，根據(jù)運動規(guī)律求解．

解答：解：（1）設(shè)小球在A、B兩點時的速度分別為v_A、v_B
則由機械能守恒：

1

2

mvB2=

1

2

mvA2+mg?2lsinθ
在A點：TA+mgsinθ=m

vA2

l

在B點：TB-mgsinθ=m

vB2

l

則A、B兩點拉力之差T_B-T_A=6mgsinθ    此為一恒量
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，則小球通過A點時細線的拉力為零．根據(jù)圓周運動規(guī)律和牛頓第二定律有   mgsinθ=m

v 2 A

l

，
解得 vA=

glsinθ

．
小球從A點運動到B點，根據(jù)機械能守恒定律有

1

2

m

v

2 A

+mg?2lsinθ=

1

2

m

v

2 B

，
解得 vB=

5glsinθ

．                     
小球運動到A點火B(yǎng)點時細線斷裂，小球在平行于底邊的方向上勻速運動，在垂直于底邊的方向上做初速為零的勻加速運動（類平拋運動）．
細線在A點斷裂：L+l=

1

2

a

t

2 A

，s_A=v_At_A，
細線在B點斷裂：L-l=

1

2

a

t

2 B

，s_B=v_Bt_B，
又 s_A=s_B，聯(lián)立解得 L=

3

2

l．            
答：（1）證明過程在上面．
（2）l和L應(yīng)滿足關(guān)系是L=

3

2

l．

點評：本題的綜合性較強，要了解物體做圓周運動的特點，同時也用到了類平拋的知識和機械能守恒，是一個很好的綜合題目，很能考查學(xué)生的分析解題能力．