Question

3．如圖所示，在坐標(biāo)系y右側(cè)存在一寬度為d、垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；在y左側(cè)存在與y軸正方向成θ=45°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一個(gè)粒子源能釋放質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在點(diǎn)P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$d，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$d）時(shí)發(fā)出的粒子恰好垂直磁場(chǎng)邊界EF射出；將粒子源沿直線PO移動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，所發(fā)出的粒子恰好不能從EF射出．不計(jì)粒子的重力及粒子間相互作用力．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）粒子源在Q點(diǎn)時(shí)，粒子從發(fā)射到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律列方程聯(lián)立求解E的大��；
（2）粒子恰好不能從EF射出時(shí)與邊界EF相切，由幾何知識(shí)求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，幾何公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)的三階段的總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子源在P點(diǎn)時(shí)，粒子在電場(chǎng)中被加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：
qEd=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2Eqd}{m}}$
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
由幾何關(guān)系知，R₁=$\sqrt{2}$d
聯(lián)立解得：E=$\frac{{B}^{2}qd}{m}$
（2）粒子源在Q點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與邊界EF相切，
由幾何關(guān)系知：R₂sin45°+R₂=d
解得：${R}_{2}=（2-\sqrt{2}）d$
根據(jù)牛頓第二定律 有：$Bq{v}_{2}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速度為：${v}_{2}=\frac{Bq（2-\sqrt{2}）d}{m}$
粒子在Q點(diǎn)射出，開(kāi)始的電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)：加速度a=$\frac{Eq}{m}=\frac{{B}^{2}{q}^{2}d}{{m}^{2}}$
運(yùn)行時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{a}=\frac{（2-\sqrt{2}）m}{qB}$
進(jìn)入磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)四分之三個(gè)圓周：${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2Bq}$
第一次出磁場(chǎng)后進(jìn)入電場(chǎng)，作類平拋運(yùn)動(dòng)：${t}_{3=}\frac{2{v}_{2}}{a}=\frac{2（2-\sqrt{2}）m}{Bq}$
粒子從發(fā)射到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（12-6\sqrt{2}+3π）m}{2Bq}$，
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為$\frac{{B}^{2}qd}{m}$；
（2）粒子源在Q點(diǎn)時(shí)，粒子從發(fā)射到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間為$\frac{（12-6\sqrt{2}+3π）m}{2Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后分階段根據(jù)動(dòng)能定理，牛頓第二定律列式求解．