Question

15．電阻可忽略的光滑平行金屬導(dǎo)軌長s=1.15m，兩導(dǎo)軌間距L=0.75m，導(dǎo)軌與水平面的傾角為30°，導(dǎo)軌上端ab接一阻值R=1.5Ω的電阻，磁感應(yīng)強度B=0.8T的勻強磁場垂直導(dǎo)軌平面向上．阻值r=0.5Ω、質(zhì)量m=0.2kg的金屬棒與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，從導(dǎo)軌上端ab處由靜止開始下滑至底端，在此過程中金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱Q_r=0.1J．取g=10m/s²．試求：
（1）金屬棒在此過程中克服安培力做的功．
（2）金屬棒下滑過程中速度v=2m/s時的加速度．
（3）金屬棒下滑的最大速度．（計算結(jié)果可保留根號）

Answer 1

分析 （1）已知金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱Q_r=0.1J，R與r串聯(lián)，根據(jù)焦耳定律分析它們產(chǎn)生的熱量關(guān)系，從而求得回路產(chǎn)生的總焦耳熱，即為金屬棒克服安培力的功W_安．
（2）分析金屬棒的受力分析，導(dǎo)體棒受到重力，支持力，安培力，求出安培力，得到合力，可以求得加速度．
（2）當(dāng)金屬棒的加速度為零時，速度最大，由上題結(jié)果求解最大速度．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒在此過程中克服安培力做的功為W_安．金屬棒下滑過程中克服安培力做的功等于在電阻上產(chǎn)生的焦耳熱，由題意可知R=3r，則
由焦耳定律Q=I²Rt得 Q_R=3Q_r…①
金屬棒在此過程中克服安培力做的功 W_安=Q=Q_R+Q_r…②
聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)解得：W_安=0.4J
（2）設(shè)金屬棒下滑過程中速度v=2m/s時的加速度a，電路中的電流為I．由題意可知金屬棒下滑時受重力和安培力作用，則
F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$…③
由牛頓第二定律得：mgsin 30°-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma…④
聯(lián)立③④式，代入數(shù)據(jù)解得：a=3.2 m/s²
（3）金屬棒下滑時做加速度減小的加速運動，無論最終是否達到勻速，當(dāng)棒到達斜面底端時速度一定為最大．設(shè)金屬棒下滑的最大速度為v_m，則由動能定理有
 mgssin 30°-W_安=$\frac{1}{2}$mv_m²…⑤
聯(lián)立①②⑤式，代入數(shù)據(jù)解得：v_m=$\frac{{\sqrt{30}}}{2}$m/s=2.74 m/s
答：
（1）金屬棒在此過程中克服安培力的功W_安是0.4J．
（2）金屬棒下滑速度v=2m/s時的加速度a是3.2m/s²．
（3）金屬棒下滑的最大速度是2.74m/s．

點評 本題關(guān)鍵要分析功能關(guān)系，并對金屬棒正確受力分析，應(yīng)用安培力公式、牛頓第二定律等，即可正確解題．