Question

【題目】如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M=1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與R=0.24m的半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平．現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v0=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時(shí)小車還未與墻壁碰撞，當(dāng)小車與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s2 ， 求：

（1）滑塊與小車共速時(shí)的速度及小車的最小長度；
（2）滑塊m恰好從Q點(diǎn)離開圓弧軌道時(shí)小車的長度；
（3）討論小車的長度L在什么范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道？

Answer 1

【答案】
（1）解：由動(dòng)量守恒知，mv0=（m+M）v1，得v1=4m/s

設(shè)小車的最小長度為L1

由能量守恒知 ，

得 L1=3m

答：滑塊與小車共速時(shí)的速度為4m/s，小車的最小長度為3m；

（2）解：m恰能滑過圓弧的最高點(diǎn)，

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Q，在這個(gè)過程對(duì)滑塊由動(dòng)能定理：

解得：L2=1m

所以小車長度L=L1+L2=4m

答：滑塊m恰好從Q點(diǎn)離開圓弧軌道時(shí)小車的長度為4m；

（3）解：由（2）可知，滑塊要想運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，小車的長度L必須滿足：3m≤L≤4m

若滑塊恰好滑至 圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)，在這個(gè)過程對(duì)滑塊由動(dòng)能定理：

解得

此時(shí)小車的長度為L′=L1+L2′=5.8m，小車的長度滿足：5.8m≤L≤7m．

答：小車的長度L在3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道．

【解析】（1）滑塊在小車滑行過程，系統(tǒng)所受的合外力為零，動(dòng)量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能有關(guān)．當(dāng)兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時(shí)，小車的長度最短，根據(jù)能量守恒求解最小長度；（2）滑塊m恰好從Q點(diǎn)離開圓弧軌道時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度．小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動(dòng)，對(duì)滑塊從車上開始滑動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求得滑塊滑過的距離，由幾何關(guān)系求出小車的長度；（3）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點(diǎn)離開軌道，也可能滑到T點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合上題的結(jié)果可求出L的范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用和能量守恒定律是解答本題的根本，需要知道應(yīng)用動(dòng)能定理只考慮初、末狀態(tài)，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質(zhì)和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題，都可以用動(dòng)能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒定律簡捷；能量守恒定律：能量既不會(huì)消滅，也不會(huì)創(chuàng)生，它只會(huì)從一種形式轉(zhuǎn)化為其他形式，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，而在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移過程中，能量的總量保持不變．