Question

10．一同學(xué)在閱讀同步衛(wèi)星的相關(guān)資料中發(fā)現(xiàn)一個(gè)式子：地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r³=$\frac{{a}^{x}^{y}c}{4{π}^{2}}$求出，已知a是地球的半經(jīng)，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間，c是地球表面處的加速度．由于印刷原因，造成x、y原有的具體數(shù)值不清．請你根據(jù)學(xué)過的知識(shí)幫張華推算出x、y的確切數(shù)值．

Answer 1

分析 地球同步衛(wèi)星公轉(zhuǎn)周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期，萬有引力等于向心力．在地球表面，物體的重力等于萬有引力，由這兩個(gè)方程列式，通過數(shù)學(xué)變形分析．

解答 解：對于地球同步衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r
由r³=$\frac{{a}^{x}^{y}c}{4{π}^{2}}$的公式中包含4π²，所以此題用的公式應(yīng)是：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
變形得：r³=$\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
在地球表面，由萬有引力等于重力，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，即有 GM=gR²（R是地球半徑）
聯(lián)立以上兩式得：r³=$\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}$
由題：r³=$\frac{{a}^{x}^{y}c}{4{π}^{2}}$中，a是地球的半經(jīng)，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間，c是地球表面處的加速度．則知，x=2，y=2
答：x、y的確切數(shù)值都是2．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要抓住衛(wèi)星的兩個(gè)基本思路：萬有引力等于向心力，以及重力等于萬有引力，并能通過數(shù)學(xué)變形解答．