Question

15．如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒，筒內(nèi)壁光滑，筒底連接一高H的光滑細(xì)直管，細(xì)直管出口處固定一個夾角θ=60°、長L的V型水平槽．筒內(nèi)壁高也為H處有一質(zhì)量為m的小球，恰好能在水平面沿筒內(nèi)壁做半徑為R的勻速圓周運動，設(shè)小球在各接管口處轉(zhuǎn)變速度方向時沒有機械能損失，重力加速度取g．
（1）求小球轉(zhuǎn)動的角速度ω；
（2）若小球轉(zhuǎn)動的角速度突然變?yōu)棣?$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$，求小球落入V型槽時的速度v；
（3）當(dāng)小球從槽接管口的一端以速度v₀=2$\sqrt{gH}$沿V型槽滑動時，為了使小球不會滑出槽口，則槽面對小球的動摩擦因數(shù)μ至少為多大？

Answer 1

分析 （1）小球在圓筒內(nèi)做圓周運動，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球轉(zhuǎn)動的角速度大��；
（2）根據(jù)機械能守恒求出小球落入V型槽時的速度v；
（3）根據(jù)動能定理求出槽面對小球的動摩擦因數(shù)大�。�

解答 解：（1）小球在筒做勻速轉(zhuǎn)動，它受到重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，如圖1：
則$\frac{mg}{tanα}$=mω²R，
由幾何關(guān)系可知：tanα=$\frac{R}{H}$，
聯(lián)立以上兩式解得：ω=$\frac{\sqrt{gH}}{R}$．
（2）如果小球轉(zhuǎn)動的角速度改為ω=$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$，小球?qū)⒀赝矁?nèi)壁向下做螺旋線運動，再進入細(xì)直管，整個運動過程中只有重力做功，故機械能守恒，有：
mg•2H=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（Rω）^{2}$，
解得：v=$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$．
（3）對小球在V型槽運動進行受力分析，如圖2：
由于三個力中每兩個力間的夾角為120°，所以每個槽面對小球的支持力N₁=N₂=mg，
所以小球?qū)�V型槽間的滑動摩擦力為f=2μN₁=2μmg，
小球沿槽滑動至停止，由動能定理，有：
-fL=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：μ=$\frac{H}{L}$．
答：（1）小球轉(zhuǎn)動的角速度為$\frac{\sqrt{gH}}{R}$．
（2）小球落入V型槽時的速度為$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$．
（3）槽面對小球的動摩擦因數(shù)μ至少為$\frac{H}{L}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運動向心力的來源，掌握動能定理解題的一般步驟，并能靈活運用，對于第三問，也可以根據(jù)動力學(xué)知識進行求解．