Question

18．如圖所示，邊界PQ以上和MN以下空間存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度均為4B，PQ、MN間距離為2$\sqrt{3}$d，絕緣板EF、GH厚度不計，間距為d，板長略小于PQ、MN間距離，EF、GH之間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．有一個質量為m的帶正電的粒子，電量為q，從EF的中點S射出，速度與水平方向成30°角，直接到達PQ邊界并垂直于邊界射入上部場區(qū)，軌跡如圖所示，以后的運動過程中與絕緣板相碰時無能量損失且遵循反射定律，經過一段時間后該粒子能再回到S點．（粒子重力不計）求：①粒子從S點出發(fā)的初速度v； 
②粒子從S點出發(fā)第一次再回到S點的時間；
③若其他條件均不變，EF板不動，將GH板從原位置起向右平移，且保證EFGH區(qū)域內始終存在垂直紙面向里的勻強磁場B，若仍需讓粒子回到S點（回到S點的運動過程中與板只碰撞一次），則GH到EF的垂直距離x應滿足什么關系？（用d來表示x）

Answer 1

分析 ①根據幾何關系求出粒子在EF和GH間做圓周運動的軌道半徑，結合半徑公式求出粒子從S點出發(fā)的初速度．
②作出粒子運動的軌跡圖，根據粒子在磁場中運動的周期公式，結合圓心角的大小求出粒子從S點出發(fā)第一次再回到S點的時間．
③作出粒子的軌跡圖，結合粒子在磁場中運動的周期性，結合數學知識求出GH到EF的垂直距離x應滿足通項表達式．

解答 解：①粒子運動軌跡如圖所示，
PQ、MN間的距離：L=2$\sqrt{3}$d，且s為中點，
由幾何知識可知：R₁sin60°=$\sqrt{3}$d，解得：R₁=2d，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：v=$\frac{2qBd}{m}$；
②粒子運動軌跡如圖所示，粒子應從G點進入PQ的場
在4B場內，由牛頓第二定律得：qv•4B=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：R₂=$\frac{{R}_{1}}{4}$=$\fracypoqiij{2}$，
做半圓，并垂直PQ再由E點回到B場區(qū)，
由對稱性，粒子將打到GH中點并反彈，再次回到S點的軌跡如圖
粒子在B場中時間：t₁=4×$\frac{1}{6}$T₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πm}{3qB}$，
粒子在4B場中時間：t₂=2×$\frac{1}{2}$T₂=T₂=$\frac{2πm}{q×4B}$=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子的運動時間：t_總=t₁+t₂=$\frac{11πm}{6qB}$；
③如圖所示，由粒子運行的周期性以及與板碰撞遵循反射定律，有如下結果：
x=（3n+1）d  （n=0、1、2…）或 x=3nd （n=0、1、2…）；
答：①粒子從S點出發(fā)的初速度為$\frac{2qBd}{m}$；
②粒子從S點出發(fā)第一次再回到S點的時間為$\frac{11πm}{6qB}$；
③GH到EF的垂直距離x應滿足x=（3n+1）d，（n=0，1，2，3…） 或 x=3nd，（n=0，1，2，3…）．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，關鍵作出軌跡圖，結合半徑公式、周期公式進行求解，在第三問中，要注意粒子運動的周期性．本題難度較大．