Question

12．如圖所示，一不可伸長(zhǎng)的輕繩上端懸掛于O點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為m的小球．現(xiàn)將小球拉到A點(diǎn)（保持繩繃直且水平）由靜止釋放，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)繩恰好被拉斷，小球平拋后落在水平地面上的C點(diǎn)．地面上的D點(diǎn)與OB在同一豎直線上，已知O點(diǎn)離地高度為H，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力影響，求：
（1）輕繩所受的最大拉力大小；
（2）調(diào)節(jié)繩子的長(zhǎng)短，當(dāng)?shù)孛嫔螪C兩點(diǎn)間的距離x取最大值時(shí)，此時(shí)繩的長(zhǎng)度為多大．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律可以求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，在B位置，由牛頓第二定律可求輕繩所受的最大拉力大小．
（2）繩子斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出x，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）從A到B，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mgl，
小球下擺到B點(diǎn)時(shí)，繩的拉力和重力提供向心力，
由牛頓第二定律的：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
解得：F=3mg
根據(jù)牛頓第三定律F′=F得輕繩所受的最大拉力為3mg；
（3）設(shè)此時(shí)繩子的長(zhǎng)度為l₀，
從A到B的過程中，有$mg{l}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
繩子斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
豎直方向：H-l₀=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向，DC間距離：x=v₀t，
代入數(shù)據(jù)解得：x=$2\sqrt{-（{l}_{0}-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$；
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)${l}_{0}=\frac{H}{2}$時(shí)，DC間的距離最大．
答：（1）輕繩所受的最大拉力大小為3mg；
（2）調(diào)節(jié)繩子的長(zhǎng)短，當(dāng)?shù)孛嫔螪C兩點(diǎn)間的距離x取最大值時(shí)，此時(shí)繩的長(zhǎng)度為$\frac{H}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 掌握運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法處理平拋運(yùn)動(dòng)問題，能根據(jù)豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)小球所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力討論繩所受拉力大小問題，掌握規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．