Question

11．如圖所示，用細(xì)圓管組成的光滑軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r?R．有一質(zhì)量為m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圓管．
（1）若要小球能從C端出來(lái)，初速度v₀需多大？
（2）在小球從C端出來(lái)的瞬間，管壁對(duì)小球的壓力為$\frac{1}{2}$mg，那么小球的初速度v₀應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球恰好能從C端出來(lái)時(shí)，速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度不同，管壁對(duì)球的作用力大小和方向不同，分析討論：當(dāng)管壁對(duì)球無(wú)作用力時(shí)，在C點(diǎn)由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出在C點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出初速v₀．
當(dāng)初速度大于和小于臨界速度時(shí)，管壁對(duì)小球的壓力均可以為$\frac{1}{2}$mg，由向心力知識(shí)分析管壁對(duì)球的作用力大小和方向，即可求出相應(yīng)的小球的初速度v₀．

解答 解：（1）選AB所在平面為參考平面，從A至C的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$ ①
在最高點(diǎn)C小球速度滿：足v_C≥0 ②
由①②得：v₀≥2$\sqrt{gR}$
（2）小球在C處受重力mg和細(xì)管豎直方向的作用力F_N，根據(jù)牛頓第二定律，得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$③
由①③解得F_N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-5mg ④
討論④式，可得：
當(dāng)小球受到向下的壓力時(shí)，F(xiàn)_N=$\frac{1}{2}$mg，v₀=$\frac{\sqrt{22gR}}{2}$
當(dāng)小球受到向上的壓力時(shí)，F(xiàn)_N=-$\frac{1}{2}$mg，v₀=$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$．
答：（1）若要小球能從C端出來(lái)，初速度v₀需滿不小于2$\sqrt{gR}$；
（2）在小球從C端出來(lái)的瞬間，管壁對(duì)小球的壓力為$\frac{1}{2}$mg，當(dāng)小球受到向下的壓力時(shí)v₀為$\frac{\sqrt{22gR}}{2}$；當(dāng)小球受到向上的壓力時(shí)，v₀為$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 題是機(jī)械能守恒定律與向心力知識(shí)的結(jié)合，考查綜合應(yīng)用物理規(guī)律的能力，對(duì)于小球在管子里的運(yùn)動(dòng)情形與輕桿模型類(lèi)似，關(guān)鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點(diǎn)和在最高點(diǎn)恰好不受管壁作用力兩種情況．