Question

9．如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．（已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長L=1m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{2}}$rad/s，求細(xì)線AC與豎直方向的夾角；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過計(jì)算在坐標(biāo)圖2中畫出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大小．
（2）${ω_{2}}=\sqrt{\frac{50}{3}}{rad/s}$＞${ω_{1}}=\sqrt{\frac{50}{4}}{rad/s}$時(shí)，細(xì)線AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出細(xì)線AC與豎直方向的夾角．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出$ω≤{ω_{1}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}{rad/s}$時(shí)、ω₁≤ω≤ω₂時(shí)、ω＞ω₂時(shí)拉力的大小，從而確定細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答 解：（1）當(dāng)細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°時(shí)，設(shè)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁，小球受力如圖所示，

則有mgtanθ=$mω_1^2Lsinθ$
得ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{50}{4}}$rad/s=$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$rad/s
（2）當(dāng)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變大，小球?qū)⑸弦�，�?xì)線與豎直方向夾角變大，直到BA細(xì)線豎直，由幾何關(guān)系可知對(duì)應(yīng)偏角α=53°．設(shè)此時(shí)細(xì)線AB張力為零時(shí)對(duì)應(yīng)角速度為ω₀，則有mgtanα=$mω_0^2Lsinα$得ω₀=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s
由于ω₂=$\sqrt{\frac{50}{2}}$rad/s＞$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，所以細(xì)線AC與豎直方向的夾角為α=53°．
（3）ω≤ω₁時(shí)，細(xì)線AC張力的水平分量提供向心力，豎直分量與小球重力平衡，即Tcosθ=mg得T=$\frac{50}{4}$Nω₁≤ω≤ω₀時(shí)，細(xì)線AB松弛，細(xì)線AC張力的水平分量提供向心力，即Tsinϕ=mω²Lsinϕ，得T=mω²Lω＞ω₀時(shí)，細(xì)線AB對(duì)小球有向下的力作用，但是仍然是細(xì)線AC張力的水平分量提供向心力，即Tsinα=mω²Lsinα，
得T=mω²L
綜上所述，ω≤ω₁時(shí)，T=$\frac{50}{4}$N=12.5N不變?chǔ)兀睛?SUB>1時(shí)，T=mω²L=ω²
所以，細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖所示．
答：（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$．
（2）細(xì)線AC與豎直方向的夾角為53°．
（3）細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．