Question

【題目】如圖，一邊長為L的正方形銅線框abcd可繞水平軸ab自由轉動，一豎直向上的外力F作用在cd邊的中點，整個線框置于方向豎直向上的均勻磁場中，磁感應強度大小隨時間變化。已知該方形線框銅線的電導率(即電阻率的倒數(shù))為σ，銅線的半徑為r0，質量密度為ρ，重力加速度大小為g。

（1）當框平面與水平面abef的夾角為θ時，求該方形線框所受到的重力矩；

（2）當框平面與水平面abef的夾角為θ時，框平面恰好處于平衡狀態(tài)。求此時線框中cd邊所受到的磁場B的作用力的大小與外力的大小F之間的關系式；

（3）隨著磁感應強度大小隨時間的變化，可按照（2）中的關系式隨時調整外力F的大小以保持框平面與水平面abef的夾角總為θ．在保持夾角θ不變的情形下，已知在某一時刻外力為零時，磁感應強度大小為B；求此時磁感應強度隨時間的變化率││。

Answer 1

【答案】（1）2L2ρgπr02 cosθ；（2）安培力水平向左時：F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ；安培力水平向右時：F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ；（3）

【解析】

（1）該方形線框的質量

m=ρV=ρS4L=4Lρπr02

方形線框的重力相對于AB邊的力矩為

Mg=mgcosθ=2L2ρgπr02 cosθ

（2）由于電流方向未知，所以引起的安培力方向及其力矩方向均未知，故需要分類討論

情況1：安培力水平向左，力矩

M安+MF=Mg

M安=2L2ρgπr02 cosθ－FL cosθ

又因為

M安=F安Lsin θ

聯(lián)立得

F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ

情況2：安培力水平向右，同理 力矩

M安+ Mg =MF

得：

F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ

（3）磁通量

φ(θ)=L2Bcosθ

感應電動勢

ε==L2cosθ││

方形線框的電阻R，由電阻定律有

R=ρ

該方形線框上的感應電流為

i=cosθ││

cd邊所受到的安培力的大小為

FA=iBL=cosθ││

因為要外力F等于零，所以是第（2）小題中的第1種情況

││=