Question

17．如圖所示，在第一象限內+x軸與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強磁場，+y軸與OC之間分布有沿+y方向的勻強電場．+x軸上與O點相距為d處有一粒子源S．某一時刻，從S平行于紙面向各個方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子（不計粒子的重力及粒子間的相互作用），所有粒子的初速度大小相等．經過一段時間有大量粒子從邊界OC射出磁場，已知OC與+x軸夾角為60°．從邊界OC射出的粒子在磁場中運動的最短時間等于$\frac{T}{6}$（T為粒子在磁場中運動的周期．為已知量）．求：
（1）從邊界OC射比的粒子在磁場中運動的最長時間？
（2）若在磁場中運動最長時間的粒子經過電場后打在y軸上與O點相距為（$\sqrt{3}$+1）d，求場強E與磁感應強度B的比值？

Answer 1

分析 粒子在磁場中的運動時間根據公式$t=\frac{θ}{2π}T$，軌跡圓心角最小時運動時間最短，軌跡弦最短，即S到OC邊距離最短，運動的最短時間$t=\frac{T}{6}$，圓心角為60°，半徑與弦長相，因為所有粒子的初速度大小相等，半徑相等，從邊界OC射出的粒子時間最長時，弦最長，最長弦等于直徑即SP=2R，根據幾何關系，SP⊥OA，從而求出最長時間：時間最長的粒子進入電場做類平拋運動，根據類平運動的規(guī)律及圓周運動規(guī)律求出E和B的比值．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{qB}$
粒子運動時間$t=\frac{θ}{2π}T$，時間最短的粒子軌跡圓心角最小，軌跡弦最短，即S到OC邊的距離最短
${t}_{min}^{\;}=\frac{T}{6}$，圓心角等于60°，r=SQ
時間最長帶電粒子軌跡弦最長，SP=2r，根據幾何關系知SP⊥OA，如圖
所以從邊界OC射出的粒子運動得最長時間${t}_{max}^{\;}=\frac{T}{2}$
（2）進入電場做類平拋運動，由幾何關系求得SP=$\sqrt{3}d$，
水平位移：x=d=vt…①
豎直位移：$y=（\sqrt{3}+1）d-\sqrt{3}d=\frac{1}{2}（\frac{qE}{m}）{t}_{\;}^{2}②$
聯(lián)立①②得：$E=\frac{2m{v}_{\;}^{2}}{qd}$…③
在磁場中圓周運動SP=2r=$\sqrt{3}d$，得：$r=\frac{\sqrt{3}}{2}d$…④
帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得：$r=\frac{mv}{qB}$…⑤
聯(lián)立④⑤得：$\frac{\sqrt{3}d}{2}=\frac{mv}{qd}$
解得：$B=\frac{2mv}{\sqrt{3}qd}$…⑥
$\frac{E}{B}=\sqrt{3}v$…⑦
根據$v=\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π×\frac{\sqrt{3}d}{2}}{T}=\frac{\sqrt{3}πd}{T}$…⑧

⑧代入⑦得：$\frac{E}{B}=\frac{3πd}{T}$
答：（1）從邊界OC射比的粒子在磁場中運動的最長時間$\frac{T}{2}$
（2）若在磁場中運動最長時間的粒子經過電場后打在y軸上與O點相距為（$\sqrt{3}$+1）d，求場強E與磁感應強度B的比值$\frac{3πd}{T}$

點評 本題是帶電粒子在復合場中運動的問題，涉及的知識點非常多，關鍵是根據題目要求，正確畫出粒子運動軌跡，根據幾何關系求半徑以及類平拋的水平和豎直位移．