Question

【題目】圖中給出一段“S”形單行盤山公路的示意圖，彎道1、彎道2可看作兩個(gè)不同水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，彎道中心線半徑分別為r1＝10 m、r2＝20 m，彎道2比彎道1高h＝12 m，有一直道與兩彎道圓弧相切．質(zhì)量m＝1 200 kg的汽車通過彎道時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是車重的1.25倍，行駛時(shí)要求汽車不打滑．(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)

(1)求汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度v1；

(2)汽車以v1進(jìn)入直道，以P＝30 kW的恒定功率直線行駛了t＝8.0 s，進(jìn)入彎道2，此時(shí)速度恰為通過彎道2中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對汽車做的功；

(3)汽車從彎道1的A點(diǎn)進(jìn)入，從同一直徑上的B點(diǎn)駛離，有經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)會利用路面寬度，用最短時(shí)間勻速安全通過彎道，設(shè)路寬d＝10 m，求此最短時(shí)間(A、B兩點(diǎn)都在軌道的中心線上，計(jì)算時(shí)視汽車為質(zhì)點(diǎn) )．

Answer 1

【答案】(1)11.2 m/s　(2)－21 000 J　(3)1.85 s

【解析】試題分析：汽車拐彎時(shí)靠靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，汽車的速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度；同理求出汽車沿彎道2中心線行駛時(shí)的最大速度，再研究汽車在直道上行駛的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求阻力對汽車做的功；當(dāng)汽車沿著與彎道1內(nèi)切的弧線運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)間最短，且速度最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出該弧線的半徑，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求最短時(shí)間。

（1）當(dāng)汽車所受的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，速度最大，

根據(jù)牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：

（2）汽車沿彎道2的最大速度設(shè)為v2．由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：

汽車直道上行駛的過程動(dòng)能定理得：

代入數(shù)據(jù)解得：

(3)沿如圖所示內(nèi)切的路線行駛時(shí)間最短

由圖可得

解得：R＝12.5 m

設(shè)汽車沿該線路行駛的最大速度為vm

由牛頓第二定律得：

解得：

根據(jù)：

解得:θ＝106°

所以：