Question

7．如圖所示，已知傾角θ=45°、高為h的斜面，將其固定在水平地面上．一小球從高為H（h＜H＜$\frac{5}{4}$h）處自由下落，與斜面做無機(jī)械能損失的碰撞后水平拋出．小球自由下落的落點(diǎn)距斜面左側(cè)的水平距離為x，若要使小球與斜面至少碰撞兩次，重力加速度為g．
（1）求x應(yīng)滿足的條件．
（2）若小球與斜面恰好碰撞兩次到達(dá)斜面底端，求小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球與斜面碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正好落在斜面底端時(shí)，x最大，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動(dòng)能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；
（2）根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出總時(shí)間的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解時(shí)間．

解答 解：（1）小球做自由落體運(yùn)動(dòng)的末速度為：v₀=$\sqrt{2g（H-h+x）}$
小球與斜面碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正好落在斜面底端時(shí)，x最�。�
小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移 s=v₀t
由幾何關(guān)系可得：s=h-x
聯(lián)立得：h-x=v₀$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
解得：x=h-$\frac{4}{5}$H
故x應(yīng)滿足的條件是0＜x＜（h-$\frac{4}{5}$H）．
（3）小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 t_總=$\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}$+$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
將x=h-$\frac{4}{5}$H代入解得 t_總=3$\sqrt{\frac{2H}{5g}}$
答：
（1）x應(yīng)滿足的條件是0＜x＜（h-$\frac{4}{5}$H）．
（2）若小球與斜面恰好碰撞兩次到達(dá)斜面底端，小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是3$\sqrt{\frac{2H}{5g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒與自由落體運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，既要把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，更要抓住它們之間的聯(lián)系，比如幾何關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求解極值．