Question

10．我國北方常遭遇嚴(yán)重的沙塵暴天氣．所謂沙塵暴可簡化為如下情景：快速向上刮起的大風(fēng)將大量沙塵顆粒揚(yáng)起后懸浮在空中，可認(rèn)為這時(shí)風(fēng)對沙塵的作用力與沙塵的重力平衡．已知風(fēng)對沙塵顆粒的作用力大小可近似表達(dá)為F=$\frac{1}{2}$ρ_空πr²v³，式中ρ_空為空氣密度，r為沙塵顆粒的半徑（沙塵顆�？山�似看成球體），且體積V=4πr³/3，v為風(fēng)速．如果沙塵顆粒的密度ρ_沙=3×10³kg/m³，沙塵顆粒的半徑r=2.5×10^-4m，地面的空氣密度ρ_空=1.25kg/m³，若空氣密度ρ_空隨地面高度h的變化關(guān)系為每升高1km，空氣密度減小0.2kg/m³，（g取10m/s²）求：
（1）要形成沙塵暴現(xiàn)象，地面的風(fēng)速至少為多少？
（2）若地面風(fēng)速是8m/s，則顆粒能上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）沙塵顆粒受豎直向上的風(fēng)力f與豎直向下的重力G作用處于平衡狀態(tài)，由二力平衡條件知，重力G和風(fēng)力F相等，列出等式，解方程求出風(fēng)的速度；
（2）由平衡條件求出風(fēng)速為8m/s時(shí)空氣的密度，再求出空氣密度隨高度變化的關(guān)系，最后由空氣的密度求出沙塵暴的高度．

解答 解：（1）沙塵顆粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙$\frac{4}{3}π{r}^{3}g$與空氣作用力為：$F=\frac{1}{2}{ρ}_{空}π{r}^{2}{v}^{3}$作用而平衡，
在地面附近空氣密度ρ₀=1.25kg/m³，由平衡條件得：ρ_沙$\frac{4}{3}π{r}^{3}g$=$\frac{1}{2}{ρ}_{空}π{r}^{2}{v}^{3}$
則v=$\root{3}{\frac{8rg{ρ}_{沙}}{3{ρ}_{空}}}$=$\root{3}{\frac{8×2.5×1{0}^{-4}×10×3×1{0}^{3}}{3×1.25}}$=$\root{3}{16}$m/s
（2）當(dāng)風(fēng)速v=8m/s時(shí)，由ρ_沙$\frac{4}{3}π{r}^{3}g$=$\frac{1}{2}{ρ}_{空}′π{r}^{2}{v}^{3}$，得：
其中ρ_空′=ρ_空-kh 
故h=$\frac{{ρ}_{空}-\frac{8{ρ}_{沙}rg}{3{v}^{3}}}{k}$
代入數(shù)據(jù)，解得：h=6.05km
答：（1）要形成沙塵暴現(xiàn)象，地面的風(fēng)速至少為$\root{3}{16}$m/s；（2）若地面風(fēng)速是8m/s，則顆粒能上升的最大高度是6.05km

點(diǎn)評 沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空氣中，是靜止的物體，受到平衡力的作用，根據(jù)平衡條件列出等式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．