Question

在半徑R=5000km的某星球表面，宇航員做了如下實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示．豎直平面內(nèi)的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點(diǎn)靜止滑下，用壓力傳感器測出小球經(jīng)過C點(diǎn)時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示．求：
（1）設(shè)軌道圓半徑為r，星球表面的重力加速度為g，試推導(dǎo)出F與H的函數(shù)關(guān)系式
（2）圓軌道的半徑r，及星球表面的重力加速度g．
（3）該星球的第一宇宙速度v₁多大？

Answer 1

分析：（1、2）小球從A到C運(yùn)動的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球?qū)�軌道C點(diǎn)的壓力與H的關(guān)系式，然后結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（3）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動的速度相等，根據(jù)萬有引力等于重力mg=m

v2

R

求出該星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）小球過C點(diǎn)時滿足F+mg=m 

vC2

r

又根據(jù)mg（H-2r）=

1

2

mv_C²
聯(lián)立解得F=

2mg

r

H-5mg   
（2）由題圖可知：H₁=0.5m時F₁=0；H₂=1.0m時F₂=5N；
可解得g=5m/s²  r=0.2m
（3）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動的速度相等，
根據(jù)m

v12

R

=mg
可得v₁=

Rg

=5×10³m/s．
答：（1）F與H的函數(shù)關(guān)系式為F=

2mg

r

H-5mg；（2）圓軌道的半徑r為0.2m，星球表面的重力加速度g為5m/s²；（3）該星球的第一宇宙速度為5×10³m/s．

點(diǎn)評：本題是牛頓運(yùn)動定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式．