Question

12．如圖1所示，AB段是一段光滑的水平軌道，輕質(zhì)彈簧一端固定在A點，放置在軌道AB上，BC段是半徑R=2.5m的光滑半圓弧軌道，有一個質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊，緊靠在被壓緊的彈簧前，松開彈簧，物塊被彈出后沖上半圓弧軌道．g取10m/s²．試解答下列問題：

（1）若物塊被彈出后，經(jīng)過半圓弧軌道恰好能通過C點，求：
①彈簧被壓緊時的彈性勢能；
②物塊從C點飛出后在水平軌道上落點與B點間的距離．
（2）保持物塊的質(zhì)量m不變，改變每次對彈簧的壓縮量，設(shè)小滑塊經(jīng)過半圓弧軌道C點時，軌道對小滑塊作用力的大小為F_N，試研究F_N與彈簧的彈性勢能E_P的函數(shù)關(guān)系，并在圖2的坐標紙上作出F_N-E_P圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P恰好能經(jīng)過C點得出C速度，根據(jù)動能定理求解彈簧對物塊做的功，由功能關(guān)系可得彈簧的彈性；
（2）由動能定理結(jié)合平拋規(guī)律求得物塊從C點飛出后在水平軌道上落點的距離；
（3）由動能定理結(jié)合在最高點時應(yīng)用牛頓第二定律可得F_N與彈簧的彈性勢能E_P的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)關(guān)系描繪出圖象．

解答 解：（1）①物塊恰能過C點，有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×2.5}$=5m/s
物塊由初位置至C點，設(shè)彈簧彈力做功W₁，由動能定理知：
W₁-2mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{C}^{2}$  
代入數(shù)據(jù)得：W₁=6.25J
即初始時彈簧具有的彈性勢能為：E_P=6.25J 
②物塊從C落到水平軌道的時間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=1s
落點到B點的距離為：x=v_Ct=5×1=5m  
（2）設(shè)每次彈出物塊彈簧做功為W，物塊至C處的速度為V_C，C處對物塊的彈力為F_N，則有：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{C}^{2}$=W-2mgR

W=E_p
F_N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：F_N=$\frac{2{E}_{p}}{R}$-5mg=$\frac{4}{5}$E_p-5
作圖，如圖．
答：（1）若物塊被彈出后，經(jīng)過半圓弧軌道恰好能通過C點，
①彈簧被壓緊時的彈性勢能為6.25J；
②物塊從C點飛出后在水平軌道上落點與B點間的距離為5m．
（2）如圖

點評 本題是能量守恒與牛頓運動定律的綜合應(yīng)用，來處理圓周運動問題．利用功能關(guān)系解題的優(yōu)點在于不用分析復(fù)雜的運動過程，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，平時要加強訓(xùn)練深刻體會這一點．對于圖象問題要依據(jù)函數(shù)圖象描點法．